Question

【題目】材料閱讀：對(duì)于一個(gè)圓和一個(gè)正方形給出如下定義：若圓上存在到此正方形四條邊距離都相等的點(diǎn)，則稱這個(gè)圓是該正方形的“等距圓”．

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)．

（1）當(dāng)r=2時(shí)，在P1（2，0），P2（﹣4，2），P3（2，2），P4（2﹣2，0）中可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的是　 　；

（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），則當(dāng)⊙P的半徑r=　 　時(shí)，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”．試判斷此時(shí)⊙P與直線BD的位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．

（3）如圖2，在正方形ABCD所在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形EFGH的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（8，2），頂點(diǎn)E、H在y軸上，且點(diǎn)H在點(diǎn)E的上方．若⊙P同時(shí)為上述兩個(gè)正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求⊙P的圓心P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) P1（2，0），P2（﹣2，4）或P4（0，2﹣2）；(2) 相交；(3) （，）或（，）．

【解析】分析：（1）根據(jù)“等距圓”的定義，可知只要圓經(jīng)過(guò)正方形的中心，即是正方形的“等距圓”，也就是說(shuō)圓心與正方形中心的距離等于圓的半徑即可，從而可以判斷哪個(gè)點(diǎn)可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心，本題得以解決；

（2）根據(jù)題意可知，只要求出點(diǎn)P與正方形ABCD的中心的距離即可求得半徑r的長(zhǎng)度，連接PE，可以得到直線PE的解析式，看點(diǎn)B是否在此直線上，由BE與直線AC的關(guān)心可以判斷PE與直線AC的關(guān)系，本題得以解決；

（3）根據(jù)題意，可以得到點(diǎn)P滿足的條件，列出形應(yīng)的二元一次方程組，從而可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

詳解：（1）連接AC、BD相交于點(diǎn)M，如右圖1所示．

∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)M是正方形ABCD的中心，到四邊的距離相等，∴⊙P一定過(guò)點(diǎn)M．

∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，∴點(diǎn)M（0，2），設(shè)⊙P的圓心坐標(biāo)是（x，y），∴（x﹣0）2+（y﹣2）2=（2 ）2，將P1（2，0），P2（﹣4，2），P3（2，2），P4（2﹣2，0）分別代入上面的方程，只有P1（2，0），P2（﹣2，4）和P4（0，2﹣2）成立．

故答案為：P1（2，0），P2（﹣2，4）或P4（0，2﹣2）；

（2）由題意可得： 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P（﹣2，﹣1），∴r==，即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），則當(dāng)⊙P的半徑r是時(shí)，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”；

故答案為：．

此時(shí)⊙P與直線AC的位置關(guān)系是相交，理由：∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，∴點(diǎn)B（﹣2，4），D（2，0），設(shè)過(guò)點(diǎn)B（﹣2，4），點(diǎn)D（2，0）的直線的解析式為y=kx+b，則 ，解得：，即直線AC的解析式為：y=﹣x+2①，∴過(guò)點(diǎn)P（﹣2，﹣1）垂直于BD的直線解析式為y=x+1②，記垂足為G，聯(lián)立①②，解得：G的坐標(biāo)為（），∴PG=

∴點(diǎn)P（﹣2，﹣1）到直線BD的距離為：＜；

∴此時(shí)⊙P與直線AC的位置關(guān)系是相交；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），連接HF、EG交于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為正方形EFGH的中心，其坐標(biāo)為（4，6）如圖2所示．

∵點(diǎn)E（0，2），N（4，6），點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)B（﹣2，4），⊙P同時(shí)為上述兩個(gè)正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，∴，

解得：或

即⊙P的圓心P的坐標(biāo)是（，）或（，）．