Question

【題目】如圖，直角梯形ABCD中，AB//DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C﹣D﹣A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)M作直線l//AD，與線段CD的交點(diǎn)為E，與折線A﹣C﹣B的交點(diǎn)為Q．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)t=0.5時(shí)，求線段QM的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如果以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求t的值；
（3）當(dāng)t＞2時(shí)，連接PQ交線段AC于點(diǎn)R．請(qǐng)?zhí)骄? 是否為定值，若是，試求這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，則四邊形AFCD為矩形．

∴CF=4，AF=2，

此時(shí)，Rt△AQM∽R(shí)t△ACF，

∴ = ，

即 = ，

∴QM=1

（2）

解：∵∠DCA為銳角，故有兩種情況：

①當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，

此時(shí)DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，在0＜t＜2內(nèi)，

②當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，如備用圖1，

此時(shí)Rt△PEQ∽R(shí)t△QMA，∴ = ，

由（1）知，EQ=EM﹣QM=4﹣2t，

而PE=PC﹣CE=PC﹣（DC﹣DE）=t﹣（2﹣t）=2t﹣2，

∴ = ，

∴t= ，在0＜t＜2內(nèi)；

綜上所述，t=1或

（3）

解： 為定值．

當(dāng)t＞2時(shí)，如備用圖2，PA=DA﹣DP=4﹣（t﹣2）=6﹣t，

由（1）得，BF=AB﹣AF=4，

∴CF=BF，

∴∠CBF=45°，

∴QM=MB=6﹣t，

∴QM=PA，

∵AB//DC，∠DAB=90°，

∴四邊形AMQP為矩形，

∴PQ//AB，

∴△CRQ∽△CAB，

∴ = = = = ．

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，則四邊形AFCD為矩形，易知CF=4，AF=2，利用平行線分線段成比例定理的推論可知Rt△AQM∽R(shí)t△ACF，那么可得比例線段，從而求出QM；（2）由于∠DCA為銳角，故有兩種情況：
①當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，可得DE+CP=CD，從而可求t；②當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，如備用圖1，容易證出Rt△PEQ∽R(shí)t△QMA，再利用比例線段，結(jié)合EQ=EM﹣QM=4﹣2t，可求t；（3） 為定值．當(dāng)t＞2時(shí)，如備用圖2，先證明四邊形AMQP為矩形，再利用平行線分線段成比例定理的推論可得△CRQ∽△CAB，再利用比例線段可求 ．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的應(yīng)用，需要了解測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能得出正確答案．