Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點為（1，0），且經(jīng)過點（0，1）．
（1）求該拋物線對應的函數(shù)的解析式；
（2）將該拋物線向下平移m（m＞0）個單位，設得到的拋物線的頂點為A，與x軸的兩個交點為B、C，若△ABC為等邊三角形．
①求m的值；
②設點A關于x軸的對稱點為點D，在拋物線上是否存在點P，使四邊形CBDP為菱形？若存在，寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得， ，解得 ，

故拋物線對應的函數(shù)的解析式為y=x2﹣2x+1

（2）

解：①將y=x2﹣2x+1向下平移m個單位得：y=x2﹣2x+1﹣m=（x﹣1）2﹣m，

令y=x2﹣2x+1﹣m=（x﹣1）2﹣m=0，

解得x=1﹣ 或x=1+ ，

可知A（1，﹣m），B（1﹣ ，0），C（1+ ，0），BC=2 ，

過點A作AH⊥BC于H，

∵△ABC為等邊三角形，

∴BH=HC= BC，∠CAH=30°，

∴AH= ，即 =m，

由m＞0，解得m=3．

②在拋物線上存在點P，能使四邊形CBDP為菱形．理由如下：

∵點D與點A關于x軸對稱，

∴D（1，3），

①當DP為對角線時，顯然點P在點A位置上時，符合題意，

故此時點P坐標為（1，﹣3）；

②當DP為邊時，要使四邊形CBDP為菱形，需DP∥BC，DP=BC．

由點D的坐標為（1，3），DP=BC=2 ，可知點P的橫坐標為1+2 ，

當x=1+2 時，y=x2﹣2x+1﹣m=x2﹣2x﹣2= ﹣2（1+2 ）﹣2=11≠3，

故不存在這樣的點P．

綜上可得，存在使四邊形CBDP為菱形的點P，坐標為（1，﹣3）．

【解析】（1）根據(jù)拋物線的頂點坐標及函數(shù)經(jīng)過點（0，1），利用待定系數(shù)法求解即可．（2）①先寫出平移后的函數(shù)解析式，然后得出A、B、C三點的坐標，過點A作AH⊥BC于H，根據(jù)△ABC為等邊三角形，可得出關于m的方程，解出即可；②求出點D坐標，分兩種情況進行討論，①PD為對角線，②PD為邊，根據(jù)菱形的性質求解即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．