【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,∠ABC=30°,動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動,運(yùn)動時(shí)間為t秒(0≤t≤6),連接PQ,以PQ為直徑作⊙O.
(1)當(dāng)t=1時(shí),求△BPQ的面積;
(2)設(shè)⊙O的面積為y,求y與t的函數(shù)解析式;
(3)若⊙O與Rt△ABC的一條邊相切,求t的值.
【答案】(1)當(dāng)t=1時(shí),S△BPQ=;(2)y= t2﹣18πt+27π;(3)若⊙O與Rt△ABC的一條邊相切,t的值為3或或0或
【解析】
(1)連接DP,根據(jù)△BPM∽△BAC,可得PD=t,BQ=(6-t),然后得到S△BPQ=BQPD即可得出結(jié)論;
(2)先表示出DP,BD,進(jìn)而利用勾股定理求出PQ的平方,最后用圓的面積公式即可得出結(jié)論;
(3)分當(dāng)⊙O與BC相切、⊙O與AB相切,⊙O與AC相切時(shí),三種情況分類討論即可得出結(jié)論.
(1)如圖1,
在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AC=6,
∴AB=12,BC=6,
由運(yùn)動知,BP=2t,CQ=t,
∴BQ=BC﹣CQ=(6﹣t),
連接DP,
∵PQ是⊙O的直徑,
∴∠PDQ=90°
∵∠C=90°,
∴PD∥AC.
∴△BPD∽△BAC,
∴
∴,
∴DP=t,BD=t,
S△BPQ=BQPD=×(6﹣t)t=﹣t2+3t
∴當(dāng)t=1時(shí),S△BPQ=﹣+3=;
(2)DQ=|BQ﹣BD|=(6﹣t)﹣t|=2|3﹣t|,PQ2=PD2+DQ2=t2+[2(3﹣t)]2=13t2﹣72t+108,
∴y=π×()2=t2﹣18πt+27π,
(3)由運(yùn)動知,BP=2t,CQ=t,
∴BQ=BC﹣CQ=(6﹣t),
當(dāng)⊙O與BC相切時(shí),PQ⊥BC,
∴△BPQ∽△BAC,
∴,
∴,
∴t1=3,
當(dāng)⊙O與AB相切時(shí),PQ⊥AB,
∴△BPQ∽△BCA
∴,
∴,
∴t2=,
當(dāng)⊙O與AC相切時(shí),如圖2,過點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H,交PD于點(diǎn)N,
∴OH∥BC,
∵點(diǎn)O是PQ的中點(diǎn),
∴ON=QD,
由(1)知,BQ=(6﹣t),BD=t,
∴QD=BD﹣BQ=2(t﹣3),DC=BC﹣BD=6﹣t=(6﹣t)
∴OH=ON+NH=QD+DC=×2(t﹣3)+(6﹣t)=3,
∴PQ=2OH=6,
由(2)知,PQ2=13t2﹣72t+108
∴13t2﹣72t+108=36×3
解得t3=0,t4=,
綜上所述,若⊙O與Rt△ABC的一條邊相切,t的值為3或或0或 .
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【題目】四邊形是由等邊和頂角為120°的等腰三角形拼成,將一個(gè)60°角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處,60°角兩邊分別交直線于,交直線于兩點(diǎn).
(1)當(dāng)都在線段上時(shí),探究之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)在邊的延長線上時(shí),求證:.
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【題目】如圖,在△ABC中,BA=BC,CD和BE是△ABC的兩條高,∠BCD=45°,BE與CD交于點(diǎn)H.
(1)求證:△BDH≌△CDA;
(2)求證:BH=2AE.
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【題目】如圖,將矩形ABCD沿BD對折,點(diǎn)A落在E處,BE與CD相交于F,若AD=3,BD=6.
(1)求證:△EDF≌△CBF;
(2)求∠EBC.
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【題目】如圖,銳角△ABC 中 BC=a,AC=b,AB=c,記三角形 ABC 的面積為 S.
(1)求證:S=absinC;
(2)求證:.
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【題目】如圖,一居民樓底部B與山腳P位于同一水平線上,小李在P處測得居民樓頂A的仰角為60°,然后他從P處沿坡角為45°的山坡向上走到C處,這時(shí),PC=30 m,點(diǎn)C與點(diǎn)A恰好在同一水平線上,點(diǎn)A、B、P、C在同一平面內(nèi)。
(1)求居民樓AB的高度;
(2)求C、A之間的距離。(精確到0.1m,參考數(shù)據(jù): )
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【題目】高中招生指標(biāo)到校是我市中考招生制度改革的一項(xiàng)重要措施.某初級中學(xué)對該校近四年指標(biāo)到校保送生人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
(1)該校近四年保送生人數(shù)的極差是 .請將折線統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)該校2009年指標(biāo)到校保送生中只有1位女同學(xué),學(xué)校打算從中隨機(jī)選出2位同學(xué)了解他們進(jìn)人高中階段的學(xué)習(xí)情況.請用列表法或畫樹狀圖的方法,求出所選兩位同學(xué)恰好是1位男同學(xué)和1位女同學(xué)的概率.
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【題目】某校九年級10個(gè)班師生舉行畢業(yè)文藝匯演,每班2個(gè)節(jié)目,有歌唱與舞蹈兩類節(jié)目,年級統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)歌唱類節(jié)目數(shù)比舞蹈類節(jié)目數(shù)的2倍少4個(gè).
(1)九年級師生表演的歌唱與舞蹈類節(jié)目數(shù)各有多少個(gè)?
(2)該校七、八年級師生有小品節(jié)目參與,在歌唱、舞蹈、小品三類節(jié)目中,每個(gè)節(jié)目的演出平均用時(shí)分別是5分鐘、6分鐘、8分鐘,預(yù)計(jì)所有演出節(jié)目交接用時(shí)共花15分鐘.若從20:00開始,22:30之前演出結(jié)束,問參與的小品類節(jié)目最多能有多少個(gè)?
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(2)以點(diǎn)A為位似中心,在網(wǎng)格圖中作△AB2C2,使△AB2C2和△ABC位似,且位似比為1:2,并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)為 .
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