Question

【題目】如圖，對(duì)稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0）。

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）已知，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)。

①若點(diǎn)P在拋物線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值。

Answer 1

【答案】解：（1）∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱 ，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）。

（2）①∵拋物線，對(duì)稱軸為，經(jīng)過點(diǎn)A（－3，0），

∴，解得。

∴拋物線的解析式為。

∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，－3）。∴OB=1，OC=3。∴。

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則。

∵，∴，解得。

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）或（－2，－3）。

②設(shè)直線AC的解析式為，將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入，得：

，解得：。

∴直線AC的解析式為。

∵點(diǎn)Q在線段AC上，∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。

又∵QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為。

∴。

∵，∴線段QD長(zhǎng)度的最大值為。

【解析】（1）由拋物線的對(duì)稱性直接得點(diǎn)B的坐標(biāo)。

（2）①用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到，設(shè)出點(diǎn)P 的坐標(biāo)，根據(jù)列式求解即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)。

②用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，由點(diǎn)Q在線段AC上，可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，從而由QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為，從而線段QD等于兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差，列出函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解。