【題目】操作發(fā)現(xiàn):如圖1,D是等邊△ABC邊BA上的一動點(點D與點B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方作等邊△DCF,連接AF,易證AF=BD(不需要證明);
類比猜想:①如圖2,當(dāng)動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時,其它作法與圖1相同,猜想AF與BD在圖1中的結(jié)論是否仍然成立。
深入探究:②如圖3,當(dāng)動點D在等邊△ABC邊BA上的一動點(點D與點B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′,連接AF,BF′你能發(fā)現(xiàn)AF,BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系,并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。
③如圖4,當(dāng)動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時,其它作法與圖3相同,猜想AF,BF′與AB在上題②中的結(jié)論是否仍然成立,若不成立,請給出你的結(jié)論并證明。
【答案】①成立,證明見詳解;②AF+BF′=AB,證明見詳解;③不成立,AF=AB+BF′,證明見詳解.
【解析】
類比猜想:①通過證明△BCD≌△ACF,即可證明AF=BD;
深入探究:②AF+BF′=AB,利用全等三角形△BCD≌△ACF(SAS)的對應(yīng)邊BD=AF;同理△BCF′≌△ACD(SAS),則BF′=AD,所以AF+BF′=AB;
③結(jié)論不成立.新的結(jié)論是AF=AB+BF′;通過證明△BCF′≌△ACD(SAS),則BF′=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等);再結(jié)合(2)中的結(jié)論即可證得AF=AB+BF′.
解:類比猜想:①如圖2中,
∵△ABC是等邊三角形(已知),
∴BC=AC,∠BCA=60°(等邊三角形的性質(zhì));
同理知,DC=CF,∠DCF=60°;
∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA,即∠BCD=∠ACF;
在△BCD和△ACF中,
∴△BCD≌△ACF(SAS),
∴BD=AF(全等三角形的對應(yīng)邊相等);
深入探究:②如圖示
AF+BF′=AB;
證明如下:由①條件可知:∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA,即∠BCD=∠ACF,
∴同理可證△BCD≌△ACF(SAS),則BD=AF;
同理△BCF′≌△ACD(SAS),則BF′=AD,
∴AF+BF′=BD+AD=AB;
③結(jié)論不成立.新的結(jié)論是AF=AB+BF′;
如圖示:
證明如下:
∵等邊△DCF和等邊△DCF′,由①同理可知:
在△BCF′和△ACD中,
∴△BCF′≌△ACD(SAS),
∴BF′=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等);
又由②知,AF=BD;
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′.
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【題目】自學(xué)下面材料后,解答問題.
分母中含有未知數(shù)的不等式叫分式不等式.如:; <0等.那么如何求出它們的解集呢?
根據(jù)我們學(xué)過的有理數(shù)除法法則可知:兩數(shù)相除,同號得正,異號得負(fù).其字母表達(dá)式為:
(1)若a>0,b>0,則>0;若a<0,b<0,則>0;
(2)若a>0,b<0,則<0;若a<0,b>0,則<0.
反之:(1)若>0,則或
(2)若<0,則 或 .
根據(jù)上述規(guī)律,求不等式>0的解集.
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【題目】如圖,對稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點,其中A點的坐標(biāo)為(-3,0)。
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)已知,C為拋物線與y軸的交點。
①若點P在拋物線上,且,求點P的坐標(biāo);
②設(shè)點Q是線段AC上的動點,作QD⊥x軸交拋物線于點D,求線段QD長度的最大值。
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【題目】為了加強(qiáng)語文課外閱讀,某年級積極組織學(xué)生參加課外閱讀讀書分享會活動.從年級推薦的四種讀物A:《水滸傳》、B:《駱駝祥子》、C:《昆蟲記》、D:《朝花夕拾》中選擇一本讀物每周一與班級同學(xué)分享讀書體會。讀書分享會活動組隨機(jī)抽取本年級的部分學(xué)生,調(diào)查他們這四本讀物中最喜愛一本讀物,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你結(jié)合圖中的信息解答下列問題:
(1)求被調(diào)查的學(xué)生人數(shù);
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)已知該年級有名學(xué)生,估計全年級最喜愛《水滸傳》的學(xué)生有多少人?
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【題目】如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線分別交AB,BC于點D,E,∠B=30°,∠BAC=80°,且BC+AC=12cm,①求∠CAE的度數(shù);②求△AEC的周長。
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分線AD交BC邊于D.以AB上某一點O為圓心作⊙O,使⊙O經(jīng)過點A和點D.
(1)判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°.
①求⊙O的半徑;
②設(shè)⊙O與AB邊的另一個交點為E,求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的圖形面積.(結(jié)果保留根號和π)
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【題目】如圖①,在正方形ABCD中,P是對角線AC上的一點,點E在BC的延長線上,且PE=PB.
(1)求證:△BCP≌△DCP;
(2)求證:∠DPE=∠ABC;
(3)把正方形ABCD改為菱形,其它條件不變(如圖②),若∠ABC=58°,則∠DPE= 度.
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【題目】反比例函數(shù)y=(k≠0)與一次函數(shù)y=mx+b(m≠0)交于點A(1,2k﹣1).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若一次函數(shù)與x軸交于點B,且△AOB的面積為3,求一次函數(shù)的解析式.
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【題目】探究問題:已知,畫一個角,使,且交于點.與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?
(1)我們發(fā)現(xiàn)與有兩種位置關(guān)系:如圖1與圖2所示.
①圖1中與數(shù)量關(guān)系為____________;圖2中與數(shù)量關(guān)系為____________.請選擇其中一種情況說明理由.
②由①得出一個真命題(用文字?jǐn)⑹?/span>):____________________________.
(2)應(yīng)用②中的真命題,解決以下問題:若兩個角的兩邊互相平行,且一個角比另一個角的2倍少30°,請直接寫出這兩個角的度數(shù).
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