Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的反比例函數(shù)圖象交AB于E點(diǎn)，連接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．

(1)求過點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式；

(2)求△DBE的面積；

(3)x軸上是否存在點(diǎn)P使△OPD為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）3（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0）或（，0）．

【解析】

（1）由四邊形OABC是矩形，得到BC=OA，AB=OC，根據(jù)tan∠COD=，設(shè)OC=3x，CD=4x，求出OD=5x=5，OC=3，CD=4，得到D（4，3），代入反比例函數(shù)的解析式即可．

（2）根據(jù)D點(diǎn)的坐標(biāo)求出點(diǎn)B，E的坐標(biāo)即可求出結(jié)論；

（3）分類討論：當(dāng)∠OPD=90°時(shí)，過D作PD⊥x軸于P，點(diǎn)P即為所求，當(dāng)∠ODP=90°時(shí)，根據(jù)射影定理即可求得結(jié)果．

（1）∵四邊形OABC是矩形，

∴BC=OA，AB=OC，

∵tan∠COD=，

∴設(shè)OC=3x，CD=4x，

∴OD=5x=5，

∴x=1，

∴OC=3，CD=4，

∴D（4，3），

設(shè)過點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式為：y=，

∴k=12，

∴反比例函數(shù)的解析式為：y=；

（2）∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴B（8，3），

∴BC=8，AB=3，

∵E點(diǎn)在過點(diǎn)D的反比例函數(shù)圖象上，

∴E（8，），

∴S△DBE=BDBE==3；

（3）存在，

∵△OPD為直角三角形，

∴當(dāng)∠OPD=90°時(shí)，PD⊥x軸于P，

∴OP=4，

∴P（4，0），

當(dāng)∠ODP=90°時(shí)，

如圖，過D作DH⊥x軸于H，

∴OD2=OHOP，

∴OP=．

∴P（，O），

∴存在點(diǎn)P使△OPD為直角三角形，

∴P（4，O），（，O）．