Question

【題目】如圖1，拋物線y＝﹣與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC．

（1）求線段AC的長；

（2）如圖2，E為拋物線的頂點，F為AC上方的拋物線上一動點，M、N為直線AC上的兩動點（M在N的左側），且MN＝4，作FP⊥AC于點P，FQ∥y軸交AC于點Q．當△FPQ的面積最大時，連接EF、EN、FM，求四邊形ENMF周長的最小值．

（3）如圖3，將△BCO沿x軸負方向平移個單位后得△B'C'O'，再將△B'C'O'繞點O'順時針旋轉α度，得到△B″C″O'（其中0°＜α＜180°），旋轉過程中直線B″C″與直線AC交于點G，與x軸交于點H，當△AGH是等腰三角形時，求α的度數．

Answer 1

【答案】（1）6（2）（3）α的值為15°或60°或105°或150°

【解析】

（1）根據拋物線的解析式求出A，C兩點坐標，可得OA＝3，OC＝3，利用勾股定理即可解決問題．

（2）如圖2﹣1中，延長FQ交OA于D．設F（m，﹣ m2﹣m+3），構建二次函數求出FQ的值最大時的點F的坐標，如圖2﹣2中，作FF′∥AC，使得FF′＝MN＝4，作點F′關于直線AC的對稱點F″，連接FF″交直線AC于點M，連接FM，EN，EF，此時四邊形ENMF的周長最短．再求出點M．N的坐標即可解決問題．

（3）分四種情形分別畫出圖象求解即可．

（1）由題意：A（﹣3，0），B（，0），C（0，3），

∴OA＝3，OC＝3，

∴AC＝＝6．

（2）如圖2﹣1中，延長FQ交OA于D．設F（m，﹣ m2﹣m+3），

∵tan∠CAO＝＝，

∴∠CAO＝30°，∵FQ∥y軸，FP⊥AC，

∴∠ADQ＝∠FPQ＝90°，

∴∠AQD＝∠FQP＝60°，

∴當FQ最大時，△FPQ的面積最大，

∵直線AC的解析式為y＝x+3，

∴Q（m， m+3），

∴FQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，

∵﹣＜0，

∴m＝﹣，FQ的值最大，即△PFQ的面積最大，此時F（﹣，），

如圖2﹣2中，作FF′∥AC，使得FF′＝MN＝4，作點F′關于直線AC的對稱點F″，連接FF″交直線AC于點M，連接FM，EN，EF，此時四邊形ENMF的周長最短．

由題意點F向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點F′（，），

∵F″與F′關于直線AC對稱，

∴F″（，），

∴M（），N（），

∵拋物線頂點E（﹣，4），

∴FM＝，EN＝＝，EF＝＝，

∴四邊形ENMF的周長的最小值為.

（3）①如圖3﹣1中，當AG＝AH時

∵AG＝AH，∠HAG＝30°，

∴∠AHG＝∠AGH＝75°，

∵∠AHG＝∠HO′B″+∠O′B″H，∠O′B″H＝60°

∴∠HO′B″＝15°，

∴α＝15°

②如圖3﹣2中，當HA＝HG時，

∵AG∥O′C″，

∴∠HO′C″＝∠GAO＝30°，

∴∠HO′B″＝60°，

∴α＝60°．

③如圖3﹣3中，當AG＝AH時，

∵∠AGH＝∠AHG＝15°，

∵∠O′C″B″＝∠C″O′H+∠AHG，

∴∠HO′C″＝15°，

∴∠HO′B″＝105°，

∴α＝105°．

④如圖3﹣4中，當GA＝GH時，同法可得∠OO′B″＝150°，α＝150°．

綜上所述，滿足條件的α的值為15°或60°或105°或150°．