Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A在反比例函數(shù)y=（x > 0)的圖象上，作AB⊥y軸于B點.

(1) △ABO的面積為 .

(2) 若點A的橫坐標(biāo)為4，點P在x軸的正半軸.且△OAP是等腰三角形，求點P的坐標(biāo): .

(3)動點M從原點出發(fā)，沿x軸的正方向運動，以MA為直角邊，在MA的右側(cè)作等腰Rt△MAN=90°,若在點M運動過程中，斜邊MN始終在x軸上，求ON-OM的值

Answer 1

【答案】（1）6；（2）（5,0）或（8,0）或（,0）；（3）48.

【解析】

（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即可求出△ABO的面積；

（2）先求出點A的坐標(biāo)，設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，0）由題意可知：a＞0，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點之間的距離公式，即可求出OA=，OP=a，AP=，然后根據(jù)等腰三角形的腰的情況分類討論即可；

（3）過點A作AB⊥x軸于B，設(shè)點A的坐標(biāo)為（x，y），則OB·AB=x·y=12，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得：AB=MB=BN，然后根據(jù)平方差公式，即可求出ON-OM的值.

解：（1）∵點A在反比例函數(shù)y=（x > 0)的圖象上，AB⊥y軸

∴S△ABO=

故答案為：6；

（2）將x=4代入y=中，得：y=3

∴點A的坐標(biāo)為（4,3）

設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，0）由題意可知：a＞0

∴OA=，OP=a，AP=

①當(dāng)OA=OP時，如下圖所示

∴a=5

此時點P的坐標(biāo)為（5,0）；

②當(dāng)OA=AP時，如下圖所示

∴

解得：（不符合a的取值范圍，舍去），

此時點P的坐標(biāo)為（8,0）；

③當(dāng)OP=AP時，如下圖所示

∴

解得：

此時點P的坐標(biāo)為（,0）.

綜上所述：點P的坐標(biāo)為（5,0）或（8,0）或（,0）；

（3）如圖所示，過點A作AB⊥x軸于B

A的坐標(biāo)為（x，y）

∴OB·AB=x·y=12

∵△AMN為等腰直角三角形，AB⊥x軸

∴AB=MB=BN

∴ON-OM

=（ON-OM）（ON+OM）

=MN（OB+BN+OB-BM）

=（MB+BN）（OB+BN+OB-BM）

=（AB + AB）（OB+ AB +OB- AB）

=2AB·2OB

=4AB·OB

=48