Question

【題目】△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)，△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點(diǎn)E作BC的平行線，交射線AC于點(diǎn)G，連接BE．

（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：四邊形BCGE是平行四邊形；

（2）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？并請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形BCGE是菱形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）結(jié)論仍成立，理由見解析；（3）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，CD=BC時(shí)，四邊形BCGE是菱形，理由見解析．

【解析】

（1）利用SAS定理證明△AEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABE=∠ACB=60°，得到BE∥CG，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明結(jié)論；
（2）仿照（1）的證明方法解答；
（3）分點(diǎn)D在BC上、點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上兩種情況，根據(jù)菱形的判定定理解答．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．

∵△ADE是等邊三角形，

∴AE=AD，∠EAD=60°，

∴∠EAB=∠DAC，

在△AEB與△ADC中，

∵，

∴△AEB≌△ADC(SAS)，

∴∠ABE=∠ACB=60°，∠EBC+∠ACB=∠ABE+∠ABC+∠ACB=180°，

∴BE∥CG，

∵EG∥BC，

∴四邊形BCGE是平行四邊形；

（2）解：（1）中的結(jié)論仍成立，

理由如下：由（1）可知，△ABE≌△ACD，

∴∠BEA=∠CDA．

∵EG∥BC，

∴∠G=∠ACB=60°，∠GED=∠BDE，∴∠BEG+∠G=∠BEA+∠AED+∠GED+∠G=∠AED+(∠CDA+∠BDE)+∠G=180°，∴BE∥CG，

又∵EG∥BC，

∴四邊形BCGE是平行四邊形；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，由（2）可知，△ABE≌△ACD，

∴BE=CD．

∵BE=CD＜BC，∴四邊形BCGE不是菱形，

當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，CD=BC時(shí)，四邊形BCGE是菱形，

由（2）可知，△ABE≌△ACD，四邊形BCGE是平行四邊形，

∴BE=CD=BC時(shí)，四邊形BCGE是菱形．