Question

如圖1，拋物線：與直線AB：交于x軸上的一點A，和另一點B(3，n)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是拋物線上的一個動點（點P在A，B兩點之間，但不包括A，B兩點），PM⊥AB于點M，PN∥y軸交AB于點N，在點P的運動過程中，存在某一位置，使得△PMN的周長最大，求此時P點的坐標，并求△PMN周長的最大值；

(3)如圖2，將拋物線繞頂點旋轉180°后，再作適當平移得到拋物線，已知拋物線的頂點E在第四象限的拋物線上，且拋物線與拋物線交于點D，過D點作軸的平行線交拋物線于點F，過E點作軸的平行線交拋物線于點G，是否存在這樣的拋物線，使得四邊形DFEG為菱形？若存在，請求E點的橫坐標；若不存在請說明理由．     

、

Answer 1

解：⑴由題意得：A(-1,0)、B(3,2)

        ∴ 解得:∴拋物線的解析式為y=-x+x+2

       ⑵設AB交y軸于D，則D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，

         ∵PN∥y軸, ∴∠PNM=∠CDN=∠ADO, ∴Rt△ADO∽Rt△PNM.

∴.∴=×PN=PN.

   ∴當PN取最大值時, 取最大值.

  設P(m, -m+m+2) N(m, m+).則PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.

  ∵-1﹤m﹤3. ∴當m=1時,PN取最大值.

  ∴△PNM周長的最大值為×2=.此時P(1,3).

  ⑶設E(n,t),由題意得:拋物線為：y=-(x-)+,為：y=(x-n) +t.

  ∵E在拋物線上，∴t=-(n-)+.∵四邊形DFEG為菱形. ∴DF=FE=EG=DG

連ED,由拋物線的對稱性可知,ED=EF.∴△DEG與△DEF均為正三角形.∴D為拋物線的頂點.∴D(,).∵DF∥x軸,且D、F關于直線x=n對稱.∴DF=2（n-）.

∵DEF為正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.

∴t=-.∴存在點E，坐標為E(,-).