【題目】綜合與實踐—探究正方形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問題
問題情境:已知正方形中,點在邊上,且.將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形(點,,,分別是點,,,的對應(yīng)點).同學(xué)們通過小組合作,提出下列數(shù)學(xué)問題,請你解答.
特例分析:(1)“樂思”小組提出問題:如圖1,當(dāng)點落在正方形的對角線上時,設(shè)線段與交于點.求證:四邊形是矩形;
(2)“善學(xué)”小組提出問題:如圖2,當(dāng)線段經(jīng)過點時,猜想線段與滿足的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
深入探究:(3)請從下面,兩題中任選一題作答.我選擇題.
A.在圖2中連接和,請直接寫出的值.
B.“好問”小組提出問題:如圖3,在正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)的過程中,設(shè)直線交線段于點.連接,并過點作于點.請在圖3中補(bǔ)全圖形,并直接寫出的值.
【答案】(1)見解析;(2);(3)A.,B..
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證得,從而證得緒論;
(2)連接、,過點作,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合三角形三線合一的性質(zhì)證得,再證得四邊形是矩形,從而求得結(jié)論;
(3)A. 設(shè),根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等證得,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例再結(jié)合勾股定理即可求得答案;
B. 作交直線于點,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)利用AAS證得,證得OP是線段的中垂線,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等證得,利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比再結(jié)合勾股定理即可求得答案;
(1)由題意得:,,
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得:,
∵
四邊形是矩形
(2)連接、,過點作于N,
由旋轉(zhuǎn)得:,
∵,
,
∵ON⊥D,∠=∠,
∴四邊形是矩形,
∴,
∴;
(3)A.如圖,連接,,,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:∠BO=∠,BO= O,,
∴,
∴,
,
,
設(shè),則,
B.如圖,過點作AG∥交直線于點G,過點O作交直線于點,連接OP,
∵AG∥,
,
四邊形是正方形 ,
由旋轉(zhuǎn)可知: ,,,,,
,,,
,
,
,
,
在和中,
,
,
又∵,
,
,,,
,
,
又∵,,
,
, ,
設(shè),則,,
在中,由勾股定理可得:
,
.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖⊙O的半徑為1,過點A(2,0)的直線切⊙O于點B,交y軸于點C.
(1)求線段AB的長;
(2)求以直線AC為圖象的一次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù):如圖(1)在線段AB上找一點C,C把AB分為AC和BC兩條線段,其中AC>BC.若AC,BC,AB滿足關(guān)系AC2=BCAB.則點C叫做線段AB的黃金分割點,這時=≈0.618,人們把叫做黃金分割數(shù),我們可以根據(jù)圖(2)所示操作方法我到線段AB的黃金分割點,操作步驟和部分證明過程如下:
第一步,以AB為邊作正方形ABCD.
第二步,以AD為直徑作⊙F.
第三步,連接BF與⊙F交于點G.
第四步,連接DG并延長與AB交于點E,則E就是線段AB的黃金分割點.
證明:連接AG并延長,與BC交于點M.
∵AD為⊙F的直徑,
∴∠AGD=90°,
∵F為AD的中點,
∴DF=FG=AF,
∴∠3=∠4,∠5=∠6,
∵∠2+∠5=90°,∠5+∠4=90°,
∴∠2=∠4=∠3=∠1,
∵∠EBG=∠GBA,
∴△EBG∽△GBA,
∴=,
∴BG2=BEAB…
任務(wù):
(1)請根據(jù)上面操作步驟與部分證明過程,將剩余的證明過程補(bǔ)充完整;(提示:證明BM=BG=AE)
(2)優(yōu)選法是一種具有廣泛應(yīng)用價值的數(shù)學(xué)方法,優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù).為優(yōu)選法的普及作出重要貢獻(xiàn)的我國數(shù)學(xué)家是 (填出下列選項的字母代號)
A.華羅庚
B.陳景潤
C.蘇步青
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一菱形紙片ABCD,∠A=60°,將該菱形紙片折疊,使點A恰好與CD的中點E重合,折痕為FG,點F、G分別在邊AB、AD上,聯(lián)結(jié)EF,那么cos∠EFB的值為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:為的直徑,,為上一動點(不與、重合).
(1)如圖1,若平分,連接交于點.①求證:;②若,求的長;
(2)如圖2,若繞點順時針旋轉(zhuǎn)得,連接.求證:為的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解我市中學(xué)生參加“科普知識”競賽成績的情況,隨機(jī)抽查了部分參賽學(xué)生的成績,整理并制作出如下的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖,如圖所示,請根據(jù)圖表信息解答下列問題:
組別 | 分?jǐn)?shù)段(分) | 頻數(shù) |
A組 | 60≤x<70 | 30 |
B組 | 70≤x<80 | 90 |
C組 | 80≤x<90 | m |
D組 | 90≤x<100 | 60 |
(1)本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 人.
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若A組學(xué)生的平均分是65分,B組學(xué)生的平均分是75分,C組學(xué)生的平均分是85分,D出學(xué)生的平均分是95分,請你估計參加本次測試的同學(xué)們平均成績是多少分?
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【題目】在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共50個,這些球除顏色外其余完全相同.王穎做摸球試驗,攪勻后,她從盒子里隨機(jī)摸出一個球記下顏色后,再把球放回盒子中,不斷重復(fù)上述過程,如表是試驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù):
摸球的次數(shù)n | 100 | 200 | 300 | 500 | 800 | 1000 | 3000 |
摸到白球的次數(shù)m | 65 | 124 | 178 | 302 | 480 | 600 | 1800 |
摸到白球的頻率 | 0.65 | 0.62 | 0.593 | 0.604 | 0.6 | 0.6 | 0.6 |
(1)請估計:當(dāng)n很大時,摸到白球的頻率將會接近 ;(精確到0.1)
(2)若從盒子里隨機(jī)摸出一個球,則摸到白球的概率的估計值為 ;
(3)試估算盒子里黑、白兩種顏色的球各有多少個?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校開展了“文明城市”活動周,活動周設(shè)置了“:文明禮儀,:生態(tài)環(huán)境,:交通安全,:衛(wèi)生保潔”四個主題活動,每個學(xué)生限選一個主題參與,為了解活動開展情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下圖所示的不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.
(1)本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是_______人;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,“”主題對應(yīng)扇形的圓心角為________度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某體育用品商場預(yù)測某品牌運動服能夠暢銷,就用32000元購進(jìn)了一批這種運動服,上市后很快脫銷,商場又用68000元購進(jìn)第二批這種運動服,所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍,但每套進(jìn)價多了10元.
(1)該商場兩次共購進(jìn)這種運動服多少套?
(2)如果這兩批運動服每套的售價相同,且全部售完后總利潤不低于20%,那么每套售價至少是多少元?
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