Question

【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接．

（１）求該拋物線的解析式；

（２）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，

①當(dāng)點(diǎn)P在直線的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的最大值；

②該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，最大值為；②存在．滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為和

【解析】

（1）將點(diǎn)，點(diǎn)代入拋物線中求出a，b即可；

（2）①過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F，先求出直線BC的解析式，進(jìn)而設(shè)P的坐標(biāo)為，F的坐標(biāo)為，從而求出的面積表達(dá)式即可求得最值；②分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的上方時(shí)，當(dāng)時(shí)，則和當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方時(shí)，設(shè)直線PB與CD交于點(diǎn)M，若，則，進(jìn)而即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)

∴

解得

∴拋物線的解析式為；

（2）①如圖①，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F

在拋物線中，令

則，解得，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為

由點(diǎn)和點(diǎn)可求得直線的解析式為

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題意可知

則點(diǎn)F的坐標(biāo)為

∴

∴

∵

∴當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，最大值為；

②存在．滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為和

∵

∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

由點(diǎn)和點(diǎn)可求得直線的解析式為

如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在直線的上方時(shí)，當(dāng)時(shí)，則

設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

∴直線的解析式為

由，解得，（舍去）

當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為；

如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在直線的下方時(shí)

設(shè)直線與交于點(diǎn)M，若，則

過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)

∴

∴垂直平分線段

設(shè)直線與交于點(diǎn)G，則線段的中點(diǎn)G為．由點(diǎn)和點(diǎn)可求得解析式為

∵直線，與直線交

∴由，解得

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為

由點(diǎn)和點(diǎn)可求得直線的解析式為

∴由，解得，（舍去）

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為；

∴綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為和．