Question

1．如圖1，將寬為m，長是寬的2倍的長方形沿虛線剪開，得到四個直角三角形，這四個直角三角形可以拼成一個如圖2的大正方形．
（1）圖1中的長方形的面積和圖2中的正方形的面積的關系是：相等；
（2）當m=2和m=3時，分別求圖2中大正方形的邊長；
（3）通過（2）問猜想圖2中的大正方形的邊長n與圖1中長方形的寬m有何關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）先求出長方形的面積，由剪開和拼圖知，圖2中大正方形的邊長為$\sqrt{2}$m，即可得出正方形的面積即可；
（2）利用（1）的結論直接代值即可；
（3）同（1）的方法得出結論．

解答 解：（1）如圖，由題意知，AB=CD=m，AD=BC=2m，
∴S_{長方形ABCD}=AB×BC=m×2m=2m²；
∵寬為m，長是寬的2倍的長方形沿虛線剪開，得到四個直角三角形，
此四個直角三角形全等的等腰直角三角形，
∴斜邊是長方形的寬的$\sqrt{2}$倍；
∴AN=DN=$\sqrt{2}$m，
拼成如圖2所示的四邊形，此四邊形是正方形，邊長為$\sqrt{2}$m；
∴EO=FO=GO=HO=$\sqrt{2}$m，
∴EG=FH=2$\sqrt{2}$m，
∴S_{正方形EFGH}=$\frac{1}{2}$EG×FH=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$m×$\sqrt{2}$m=2m²，
∴S_{長方形ABCD}=S_{正方形EFGH}，
故答案為：相等；
（2）由（1）知，圖2中大正方形的邊長為EF=$\sqrt{2}$m，
當m=2時，圖2中大正方形的邊長為EF=$\sqrt{2}$m=2$\sqrt{2}$，
當m=3時，圖2中大正方形的邊長為EF=$\sqrt{2}$m=3$\sqrt{2}$，
（3）n=$\sqrt{2}$m，
理由：∵寬為m，長是寬的2倍的長方形沿虛線剪開，得到四個直角三角形，
此四個直角三角形全等的等腰直角三角形，
∴斜邊是長方形的寬的$\sqrt{2}$倍；
圖2中是以圖1剪開的四個全等的等腰直角三角形的斜邊為邊．
∴n=$\sqrt{2}$m，

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了長方形的性質，正方形的性質和面積公式，勾股定理，剪圖和拼圖問題，解本題的關鍵是圖1中的量到圖2中的量之間的關系．