Question

【題目】如圖①，AD為等腰直角△ABC的高，點A和點C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上，連接BG，AE．

（1）求證：BG=AE；
（2）將正方形DEFG繞點D旋轉，當線段EG經過點A時，（如圖②所示）
①求證：BG⊥GE；
②設DG與AB交于點M，若AG：AE=3：4，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖①，

∵AD為等腰直角△ABC的高，

∴AD=BD，

∵四邊形DEFG為正方形，

∴∠GDE=90°，DG=DE，

在△BDG和△ADE中

，

∴△BDG≌△ADE，

∴BG=AE；

（2）

①證明：如圖②，

∵四邊形DEFG為正方形，

∴△DEG為等腰直角三角形，

∴∠1=∠2=45°，

由（1）得△BDG≌△ADE，

∴∠3=∠2=45°，

∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，

∴BG⊥GE；

②解：設AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，

∴DG= GE= x，

∵△BDG≌△ADE，

∴BG=AE=4x，

在Rt△BGA中，AB= = =5x，

∵△ABD為等腰直角三角形，

∴∠4=45°，BD= AB= x，

∴∠3=∠4，

而∠BDM=∠GDB，

∴△DBM∽△DGB，

∴BD：DG=DM：BD，即 x： x=DM： x，解得DM= x，

∴GM=DG﹣DM= x﹣ x= x，

∴ = = ．

【解析】（1）如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質得AD=BD，再根據(jù)正方形的性質得∠GDE=90°，DG=DE，則可根據(jù)“SAS“判斷△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；（2）①如圖②，先判斷△DEG為等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，則可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；
②設AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性質得DG= GE= x，由（1）的結論得BG=AE=4x，則根據(jù)勾股定理得AB=5x，接著由△ABD為等腰直角三角形得到∠4=45°，BD= AB= x，然后證明△DBM∽△DGB，則利用相似比可計算出DM= x，所以GM= x，于是可計算出 的值．