Question

（2012•拱墅區(qū)二模）已知二次函數(shù)y=-x²+4mx-8m+4：
（1）證明：當m為整數(shù)時，拋物線y=-x²+4mx-8m+4與x軸交點的橫坐標均為整數(shù)；
（2）以拋物線y=-x²+4mx-8m+4的頂點A為等腰Rt△的直角頂點，作該拋物線的內接等腰Rt△ABC（B、C兩點在拋物線上），求Rt△ABC的面積（圖中給出的是m取某一值時的示意圖）；
（3）若拋物線y=-x²+4mx-8m+4與直線y=7交點的橫坐標均為整數(shù)，求整數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）令函數(shù)值為0，將所得方程利用因式分解法得出兩個方程的根，由m為整數(shù)先證得這兩個根為整數(shù)，即可判定拋物線與x軸的橫坐標均為整數(shù)．
（2）由拋物線的解析式，可確定頂點A的坐標；設出點B的坐標后，先表示出BD、AD的長（點D為拋物線對稱軸和BC的交點），由等腰直角三角形的特點可得到BD=AD，據(jù)此求出BD的長，進而可求得△ABC的面積．
（3）聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式，通過所得方程先求出這個方程的兩個根，然后通過這兩個根都是整數(shù)確定m的整數(shù)值．

解答：解：（1）證明：令y=0，得：-x²+4mx-8m+4=0，即：（-x+2）（x-4m+2）=0
解得：x₁=2、x₂=4m-2；
∵m為整數(shù)，
∴x₂=4m-2也是整數(shù)；
因此，當m為整數(shù)時，拋物線y=-x²+4mx-8m+4與x軸交點的橫坐標均為整數(shù)．

（2）求得頂點A（2m，4m²-8m+4），根據(jù)拋物線的軸對稱性可知：BC∥x軸；
設拋物線的對稱軸與BC的交點為D，設B（a，b），則 D（2m，b）．
∴BD=2m-a，（2m＞a）
AD=4m²-8m+4-b=4m²-8m+4-（-a²+4ma-8m+4）=（2m-a）²；
∵AD=BD，∴（2m-a）²=（2m-a），解得 2m-a=1或2m-a=0（舍去）；
∴S_△ABC=

1

2

•BC•AD=

1

2

•2BD•AD=1．

（3）由-x²+4mx-8m+4=7，x=

4m± 16m2-4(8m+3)

2

=2m±

4m2-8m-3

，
當x為整數(shù)時，須 4m²-8m-3 為完全平方數(shù)，設 4m²-8m-3=n² （n是整數(shù)）整理得：
（2m-2）²-n²=7，即 （2m-2+n）（2m-2-n）=7
兩個整數(shù)的積為7，∴

2m-2+n=1 2m-2-n=7

或

2m-2+n=7 2m-2-n=1

或

2m-2+n=-1 2m-2-n=-7

或

2m-2+n=-7 2m-2-n=-1

解得：

m=3 n=-3

或

m=3 n=3

或

m=-1 n=-3

或

m=-1 n=3

綜上，得：m=3或m=-1；
∴拋物線與直線y=7交點的橫坐標均為整數(shù)時，m=3或m=-1．

點評：該題主要涉及到：二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系、等腰直角三角形的性質以及函數(shù)圖象交點坐標的解法等知識．解題的思路并不復雜，但計算過程較為復雜，間接增大了題目的難度．