Question

【題目】定義：將函數(shù)l的圖象繞點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，得到新的函數(shù)l'的圖象，我們稱函數(shù)l'是函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．

例如：當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)y＝（x+1）2+5關(guān)于點(diǎn)P（1，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣（x﹣3）2﹣5．

（1）當(dāng)m＝0時(shí)

①一次函數(shù)y＝x﹣1關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為 ；

②點(diǎn)（，﹣）在二次函數(shù)y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值．

（2）函數(shù)y＝（x﹣1）2+2關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)y＝﹣（x+3）2﹣2，則m＝　 　；

（3）當(dāng)m﹣1≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣mx﹣m2關(guān)于點(diǎn)P（m，0）的相關(guān)函數(shù)的最大值為6，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x+1；②a＝；（2）-1；（3）m的值為或．

【解析】

（1）①由相關(guān)函數(shù)的定義，將y＝x﹣1旋轉(zhuǎn)變換可得相關(guān)函數(shù)為y＝x+1；

②將（，﹣）代入可得a的值，

（2）兩函數(shù)頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P中心對稱，可用中點(diǎn)坐標(biāo)公式獲得點(diǎn)P坐標(biāo)，從而獲得m的值；

（3）在相關(guān)函數(shù)中，以對稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)，中部，右側(cè)，三種情況分類討論，獲得對應(yīng)的m的值．

解：（1）①∵一次函數(shù)y＝x﹣1，k=1,過（0，-1）

∴繞點(diǎn)P（0，0）旋轉(zhuǎn)180°后k不變，過（0，1）

∴關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為y＝x+1，

故答案為：y＝x+1；

②∵，

∴y＝﹣ax2﹣ax+1關(guān)于點(diǎn)P（0，0）的相關(guān)函數(shù)為，

∵點(diǎn)A（，﹣）在函數(shù)的圖象上，

∴，

解得a＝，

（2）∵函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)為（1，2），函數(shù)y＝﹣（x+3）2﹣2的頂點(diǎn)為（﹣3，﹣2），

這兩點(diǎn)關(guān)于中心對稱，

∴，

∴m＝﹣1，

故答案為：﹣1．

（3）∵，

∴關(guān)于點(diǎn)P（m，0）的相關(guān)函數(shù)為，

①當(dāng)，即m≤﹣2時(shí)，y有最大值是6，

∴，

∴，（不符合題意，舍去），

②當(dāng)時(shí)，即﹣2＜m≤4時(shí)，當(dāng)時(shí)，y有最大值是6，

∴

∴，（不符合題意，舍去），

③當(dāng)，即m＞4時(shí)，當(dāng)x＝m+2時(shí)，y有最大值是6，

∴，

∴（不符合題意，舍去），

綜上，m的值為或．