Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，D為OC的中點，直線AD交拋物線于點E（2，6），且△ABE與△ABC的面積之比為3：2．
（1）求這條拋物線對應的函數關系式；
（2）連接BD，試判斷BD與AD的位置關系，并說明理由；
（3）連接BC交直線AD于點M，在直線AD上，是否存在這樣的點N（不與點M重合），使得以A、B、N為頂點的三角形與△ABM相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據△ABE與△ABC的面積之比為3：2，可得出OC與E點縱坐標的比為3：2，因此C點的坐標為（0，4）．D點坐標為（0，2）．然后可求出直線AD的解析式，進而可求出A點坐標．根據A，C，E三點坐標即可求出拋物線的解析式；
（2）應該是垂直關系．可根據（1）中得出的拋物線的解析式求出B點的坐標，然后通過證△ABD和△ADO相似即可得出∠ADB=90°，也可利用勾股定理來求證，答案不唯一；
（3）由于以A、B、N為頂點的三角形與△ABM相似，且M、N不重合，而這兩個三角形又有一個公共角，因此只有一種情況，即△ANB∽△ABM，可得出AN：AB=AB：AM，由此可求出AN的長，即可求出N點的坐標．
（也可通過證△AEB∽△ABM，得出E，N重合，由此可求出N點的坐標）．
解答：解：（1）根據△ABE與△ABC的面積之比為3：2及E（2，6），可得C（0，4）．
∴D（0，2）．
由D（0，2）、E（2，6）可得直線AD所對應的函數關系式為y=2x+2．
當y=0時，2x+2=0，
解得x=-1．
∴A（-1，0）．
由A（-1，0）、C（0，4）、E（2，6）求得拋物線對應的函數關系式為y=-x²+3x+4．

（2）BD⊥AD．
求得B（4，0），通過相似或勾股定理逆定理證得∠BDA=90°，
即BD⊥AD．

（3）法1：求得M（，），AM=．
由△ANB∽△ABM，得=，即AB²=AM•AN，
∴5²=•AN，
解得AN=3．
從而求得N（2，6）．
法2：由OB=OC=4及∠BOC=90°得∠ABC=45°．
由BD⊥AD及BD=DE=2得∠AEB=45°．
∴△AEB∽△ABM，即點E符合條件，
∴N（2，6）．
點評：考查二次函數解析式的確定、圖形的面積求法、函數圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．