Question

如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AD是⊙O的直徑，∠ABC=60°，∠ACB=50°，請解答下列問題：
（1）∠CAD的度數(shù)；
（2）設AD、BC相交于E，AB、CD的延長線相交于F，求∠AEC、∠AFC的度數(shù)；
（3）若AD=6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理求出∠ADC、∠ACD的度數(shù)，相減即可；
（2）根據(jù)三角形的內角和定理求出∠BAC，根據(jù)三角形的外角性質求出即可；
（3）連接OC，過O作OQ⊥AC于Q，求出∠AOC的度數(shù)，求出高OQ和弦AC，求出扇形和三角形的面積，相減即可．
解答：解：（1）∵弧AC=弧AC，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∵AD是直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=30°，
答：∠CAD的度數(shù)是30°．

（2）∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=70°-30°=40°，
∴∠BCD=∠BAD=40°，
∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=100°，
∵∠AFC=∠ABC-∠BCF=60°-40°=20°，
答：∠AEC=100°，∠AFC=20°．

（3）連接OC，過O作OQ⊥AC于Q，
∵∠CAD=30°，AO=3，
∴OQ=OA=，
由勾股定理得：AQ=，
由垂徑定理得：AC=2AQ=3，
∵∠AOC=2∠ABC=120°，
∴陰影部分的面積是S_扇形OAC-S_△AOC=-×3×=3π-，
答：圖中陰影部分的面積是3π-．
點評：本題綜合考查了圓周角定理，三角形的面積，扇形的面積，三角形的外接圓與外心，三角形的外角性質等知識點的應用，此題是一道綜合性比較強的題目，題目比較典型，通過做此題培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力．