【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上,AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直,垂足為點(diǎn)D,AD交⊙O于點(diǎn)E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)連接CE,若CE=6,AC=8,求AE的長(zhǎng).

【答案】
(1)證明:連接OC,如圖,

∵CD為切線,

∴OC⊥CD,

又∵AD⊥CD,

∴OC∥AD,

∴∠1=∠3

又∵OA=OC,

∴∠1=∠2,

∴∠2=∠3,

∴AC平分∠DAB


(2)解:連接BC,BE,BE交OC于F,如圖,

∵AB為直徑,

∴∠AEB=90°,

易得四邊形DEFC為矩形,

∴OC⊥BE,

= ,

∴BC=CE=6,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°,

∴AB= =10,

∵∠3=∠2,

∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB,

∴AD:AC=AC:AB,

∴AD= =6.4,

∵∠DEC=∠ABC,

∴Rt△DEC∽R(shí)t△CBA,

∴DE:BC=CE:AB,

∴DE= =3.6,

∴AE=AD﹣DE=6.4﹣3.6=2.8


【解析】(1)連接OC,如圖,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CD,則可證明OC∥AD,所以∠1=∠3,加上∠1=∠2,于是得到∠2=∠3;(2)連接BC,BE,BE交OC于F,如圖,先利用圓周角定理得到∠AEB=90°,易得四邊形DEFC為矩形,則OC⊥BE,根據(jù)垂徑定理得到 = ,所以BC=CE=6,于是可計(jì)算出AB=10,接著證明Rt△ADC∽R(shí)t△ACB,利用相似比計(jì)算出AD,證明Rt△DEC∽R(shí)t△CBA,利用相似比計(jì)算出DE,然后計(jì)算AD﹣DE即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí),掌握切線的性質(zhì):1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求拋物線的解析式,并求出點(diǎn)B坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)B作BD∥CA交拋物線于點(diǎn)D,連接BC、CA、AD,求四邊形ABCD的周長(zhǎng);(結(jié)果保留根號(hào))
(3)在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PE垂直于x軸,垂足為點(diǎn)E,使以B、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△CBD相似?若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)a=______,b=______,c=______;

(2)若將數(shù)軸折疊,使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合,則點(diǎn)B與數(shù)______表示的點(diǎn)重合;

(3)點(diǎn)A、B、C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng),假設(shè)t秒鐘過(guò)后,若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB,點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC.則AB=______,AC=______,BC=______.(用含t的代數(shù)式表示).

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