Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1）、B（3，5），以AB為邊作如圖所示的正方形ABCD，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．

（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）求點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到x軸的距離之差；

（4）當(dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí)，△APB的周長(zhǎng)有最小值，并求出△APB的周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

（1）D（-4，4）；（2）y=x2（3）1；（4）11.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)A點(diǎn)作x的平行線l，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥l于E點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DF⊥l于F點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)A（0，1）和B（3，5）可以求出AE、BE的長(zhǎng)，然后再證明Rt△AEB≌Rt△DFA，求出AF和DF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax2，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值，進(jìn)而求出拋物線解析式；

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2），分別求出P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離和到x軸的距離，求出兩距離之差即可；

（4）作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，過(guò)A′作x軸的平行線m，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥直線m交于點(diǎn)E，P′點(diǎn)就是△APB的周長(zhǎng)有最小值時(shí)P點(diǎn)的位置，首先證明P′A=P′E，然后P′坐標(biāo)，進(jìn)而求出△APB的周長(zhǎng)有最小值．

試題解析：（1）設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)A點(diǎn)作x的平行線l，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥l于E點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DF⊥l于F點(diǎn)，

∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）、A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），

∴AE=3，BE=4，

∵正方形ABCD，

∴AD=AB，

∵∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠FAD，

在Rt△AEB和Rt△DFA中，

，

∴在Rt△AEB和Rt△DFA中，

∴AF=BE=4，DF=AE=3，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，4）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax2，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D坐標(biāo)（-4，4），

即4=16a，解得a=，

因此，所求拋物線解析式為y=x2

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2），A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），

|PA|=，

點(diǎn)P到x軸的距離d=x2

點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到x軸的距離之差=|PA|-d=x2+1-x2=1；

（4）作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，過(guò)A′作x軸的平行線m，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥直線m交于點(diǎn)E，P′點(diǎn)就是△APB的周長(zhǎng)有最小值時(shí)P點(diǎn)的位置，

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），

∴A′點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），

首先證明P′A=P′E，

設(shè)P′點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），

|P′A|=，|P′E|=|y+1|，

于是證明出P′A=P′E，

而點(diǎn)P'在拋物線上，且其橫坐標(biāo)為3，

∴點(diǎn)P'坐標(biāo)為（3，）；由于兩點(diǎn)之間線段最短，那么此時(shí)△APB的周長(zhǎng)最短；

因此，當(dāng)點(diǎn)P為（3，）時(shí)，△APB的周長(zhǎng)值最小，且為L(zhǎng)=|AB|+|AP|+|BP|=|AB|+|BE|=5+6=11．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．