Question

如圖，頂點為D的拋物線y=x²+bx-3與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，連接BC，已知△BOC是等腰三角形．
（1）求點B的坐標及拋物線y=x²+bx-3的解析式；
（2）求四邊形ACDB的面積；
（3）若點E（x，y）是y軸右側(cè)的拋物線上不同于點B的任意一點，設以A，B，C，E為頂點的四邊形的面積為S．
①求S與x之間的函數(shù)關系式．
②若以A，B，C，E為頂點的四邊形與四邊形ACDB的面積相等，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意△OBC為等腰三角形，∠BOC=90°，所以OC=OB，由圖象得點C的坐標為（0，-3），所以可得點B的坐標為（3，0），將點B的坐標代入函數(shù)解析式即可求得；
（2）過點D作X軸的垂線，分割成兩個直角三角形和一個直角梯形來求即可；
（3）①由點E（x，y）是y軸右側(cè)的拋物線上不同于點B的任意一點，可得當E在第一象限時，四邊形ABCE的面積=S_△ABC+S_△AEB；當E在第四象限，四邊形ABCE的面積=S_△AOC+S_△OCE+S_△BOE，分別得出S與x之間的函數(shù)關系式及取值范圍；
②根據(jù)所得解析式，列方程即可求得．
解答：解：（1）B（3，0），
∴9+3b-3=0
∴b=-2
∴y=x²-2x-3

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴點D的坐標為（1，-4），對稱軸為x=1
∴點A的坐標為（-1，0）
過點D作X軸的垂線，垂足為F
∴S_△AOC=，S_△BDF=2×4÷2=4，S_梯形OCDF=（3+4）×1÷2=3.5
∴四邊形ACDB的面積為1.5+4+3.5=9．

（3）①當E在第四象限，S=-x²+x+6（0＜x＜3），
當E在第一象限，S=2x²-4x（x＞3）．
②存在．
當E在第四象限，S=-x²+x+6=9，
解得：x₁=1，x₂=2，
∴點E的坐標為（1，-4）或（2，-3）；
當E在第一象限，S=2x²-4x=9，
解得：x₁=1-（舍去），x₂=1+，
∴點E的坐標為；
∴點E的坐標為（1，-4）或（2，-3）或．
點評：此題考查了二次函數(shù)與面積問題的綜合知識，解題時要注意面積的分割與拼湊，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．