Question

【題目】如圖所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延長線交BD于點(diǎn)P．

（1）把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1，BD，CE的關(guān)系是　 　（選填“相等”或“不相等”）；簡要說明理由；

（2）若AB=3，AD=5，把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠EAC=90°時(shí)，在圖2中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，PD=　 　，簡要說明計(jì)算過程；

（3）在（2）的條件下寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最小值為　 　，最大值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）BD，CE的關(guān)系是相等；（2）或；（3）1，7

【解析】分析：（1）依據(jù)△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，進(jìn)而得到△ABD≌△ACE，可得出BD=CE；

（2）分兩種情況：依據(jù)∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，可得△PCD∽△ACE，即可得到=，進(jìn)而得到PD=；依據(jù)∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，可得△BAD∽△BPE，即可得到，進(jìn)而得出PB=，PD=BD+PB=；

（3）以A為圓心，AC長為半徑畫圓，當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí)，PD的值最��；當(dāng)CE在在⊙A右上方與⊙A相切時(shí)，PD的值最大．在Rt△PED中，PD=DEsin∠PED，因此銳角∠PED的大小直接決定了PD的大�。�分兩種情況進(jìn)行討論，即可得到旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最小值以及最大值．

詳解：（1）BD，CE的關(guān)系是相等．

理由：∵△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE；

故答案為：相等．

（2）作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，若點(diǎn)C在AD上，如圖2所示：

∵∠EAC=90°，

∴CE=，

∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，

∴△PCD∽△ACE，

∴，

∴PD=；

若點(diǎn)B在AE上，如圖2所示：

∵∠BAD=90°，

∴Rt△ABD中，BD=，BE=AE﹣AB=2，

∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，

∴△BAD∽△BPE，

∴，即，

解得PB=，

∴PD=BD+PB=+=，

故答案為：或；

（3）如圖3所示，以A為圓心，AC長為半徑畫圓，當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí)，PD的值最小；當(dāng)CE在在⊙A右上方與⊙A相切時(shí)，PD的值最大．

如圖3所示，分兩種情況討論：

在Rt△PED中，PD=DEsin∠PED，因此銳角∠PED的大小直接決定了PD的大�。�

①當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中△ACB的位置時(shí)，

在Rt△ACE中，CE==4，

在Rt△DAE中，DE=，

∵四邊形ACPB是正方形，

∴PC=AB=3，

∴PE=3+4=7，

在Rt△PDE中，PD=，

即旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最小值為1；

②當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中△AB'C'時(shí)，可得DP'為最大值，

此時(shí)，DP'=4+3=7，

即旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最大值為7．

故答案為：1，7．