【題目】如圖,PB為O的切線,B為切點,直線PO交于點E,F(xiàn),過點B作PO的垂線BA,垂足為點D,交O于點A,延長AO與O交于點C,連接BC,AF.

(1)求證:直線PA為O的切線;

(2)試探究線段EF,OD,OP之間的等量關(guān)系,并加以證明;

(3)若BC=6,tanF,求cosACB的值和線段PE的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)EF2=4ODOP,證明見解析;(3),.

【解析】

試題分析:(1)連接OB,根據(jù)垂徑定理的知識,得出OA=OB,∠POA=∠POB,從而證明△PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定定理即可得出結(jié)論;

(2)先證明△OAD∽△OPA,由相似三角形的性質(zhì)得出OA與OD、OP的關(guān)系,然后將EF=2OA代入關(guān)系式即可;

(3)根據(jù)題意可確定OD是△ABC的中位線,設(shè)AD=x,然后利用三角函數(shù)的知識表示出FD、OA,在Rt△AOD中,由勾股定理解出x的值,從而能求出cos∠ACB,再由(2)可得OA2=ODOP,代入數(shù)據(jù)即可得出PE的長.

試題解析:(1)如圖,連接OB,

∵PB是⊙O的切線,∴∠PBO=90°.

∵OA=OB,BA⊥PO于D,∴AD=BD,∠POA=∠POB.

又∵PO=PO,∴△PAO≌△PBO(SAS).

∴∠PAO=∠PBO=90°. ∴直線PA為⊙O的切線.

(2)EF2=4ODOP,證明如下:

∵∠PAO=∠PDA=90°,∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°.

∴∠OAD=∠OPA. ∴△OAD∽△OPA. ,即OA2=ODOP.

又∵EF=2OA,∴EF2=4ODOP.

(3)∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD=BC=3(三角形中位線定理).

設(shè)AD=x,

∵tan∠F=,∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3.

在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32,

解得,x1=4,x2=0(不合題意,舍去).∴AD=4,OA=2x﹣3=5.

∵AC是⊙O直徑,∴∠ABC=90°.

又∵AC=2OA=10,BC=6,∴cos∠ACB=.

∵OA2=ODOP,∴3(PE+5)=25.∴PE=.

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