【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)和點(diǎn)B(2,3),過點(diǎn)A的直線與y軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)C,且tan∠CAO=.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱軸;
(2)聯(lián)結(jié)AB、BC,求∠ABC的正切值;
(3)若點(diǎn)D在x軸下方的對(duì)稱軸上,當(dāng)S△DBC=S△ADC時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
【答案】(1)y=-x2+2x+3,對(duì)稱軸x=1;(2)tan∠ABC=1;(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4).
【解析】
(1)把A(3,0)和點(diǎn)B(2,3)代入y=-x2+bx+c,解方程組即可解決問題;
(2)作BE⊥OA于E.只要證明△AOC≌△BEA,再推出△ABC是等腰直角三角形,即可解決問題;
(3)過點(diǎn)C作CD∥AB交對(duì)稱軸于D,則S△DBC=S△ADC,先求出直線AB的解析式,再求出直線CD的解析式即可解決問題.
解:(1)把A(3,0)和點(diǎn)B(2,3)代入y=-x2+bx+c得到,
,解得,
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3,
∴對(duì)稱軸為x=-=1.
故拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3,對(duì)稱軸為x=1;
(2)如圖,作BE⊥OA于E.
∵A(3,0),B(2,3),tan∠CAO=,
∴OA=3,OE=2,BE=3,∴AE=1,OC=OA×tan∠CAO=1,
∴BE=OA,AE=OC,
∵∠AEB=∠AOC=90°,
∴△AOC≌△BEA(SAS),
∴AC=AB,∠CAO=∠ABE,
∵∠ABE+∠BAE=90°,
∴∠CAO+∠BAE=90°,
∴∠CAB=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,
∴tan∠ABC=1;
(3)如圖,過點(diǎn)C作CD∥AB交對(duì)稱軸于D,則S△DBC=S△ADC,
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,將A(3,0),B(2,3)代入得,
,解得,∴直線AB的解析式為y=-3x+9.
∵AB∥CD,設(shè)直線CD的解析式為y=-3x+m,將點(diǎn)C(0,-1)代入得,m=-1,
∴直線CD的解析式為y=-3x-1,當(dāng)x=1時(shí),y=-4,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,是邊上的一點(diǎn),是的中點(diǎn),過點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),且,連接.
(1)求證:是的中點(diǎn);
(2)如果,試判斷四邊形的形狀,并證明你的結(jié)論.
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【題目】某數(shù)學(xué)小組對(duì)函數(shù)y1=圖象和性質(zhì)進(jìn)行探究.當(dāng)x=4時(shí),y1=0.
(1)當(dāng)x=5時(shí),求y1的值;
(2)在給出的平面直角坐標(biāo)系中,補(bǔ)全這個(gè)函數(shù)的圖象,并寫出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì);
(3)進(jìn)一步探究函數(shù)圖象并解決問題:已知函數(shù)y2=﹣的圖象如圖所示,結(jié)合函數(shù)y1的圖象,直接寫出不等式y1≥y2的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀(如圖1).
科學(xué)原理:如圖2,始終盛滿水的圓體水桶水面離地面的高度為H(單位:m),如果在離水面豎直距離為h(單校:cm)的地方開大小合適的小孔,那么從小孔射出水的射程(水流落地點(diǎn)離小孔的水平距離)s(單位:cm)與h的關(guān)系為s2=4h(H—h).
應(yīng)用思考:現(xiàn)用高度為20cm的圓柱體望料水瓶做相關(guān)研究,水瓶直立地面,通過連注水保證它始終盛滿水,在離水面豎直距高h cm處開一個(gè)小孔.
(1)寫出s2與h的關(guān)系式;并求出當(dāng)h為何值時(shí),射程s有最大值,最大射程是多少?
(2)在側(cè)面開兩個(gè)小孔,這兩個(gè)小孔離水面的豎直距離分別為a,b,要使兩孔射出水的射程相同,求a,b之間的關(guān)系式;
(3)如果想通過墊高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔離水面的豎直距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用尺規(guī)在邊AB上求作一點(diǎn)P,使PC=PB,并連接PC;(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)當(dāng)AC=3,BC=4時(shí),△ACP的周長(zhǎng)= ;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù).這本書中有一個(gè)問題:“今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等.交易其一,金輕十三兩.問金、銀一枚各重幾何?”.用現(xiàn)代白話文可以這樣理解:甲口袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同),乙口袋中裝有白銀11枚(每枚白銀重量相同),用稱分別稱這兩個(gè)口袋的重量,它們的重量相等.若從甲口袋中拿出1枚黃金放入乙口袋中,乙口袋中拿出1枚白銀放入甲口袋中,則甲口袋的重量比乙口袋的重量輕了13兩(袋子重量忽略不計(jì)).問一枚黃金和一枚白銀分別重多少兩?請(qǐng)根據(jù)題意列方程(組)解之.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,A,M,N均在格點(diǎn)上.在線段上有一動(dòng)點(diǎn)B,以為直角邊在的右側(cè)作等腰直角,使,,G是一個(gè)小正方形邊的中點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)B的位置滿足時(shí),求此時(shí)的長(zhǎng)_______;
(2)請(qǐng)用無刻度的直尺,在如圖所示的網(wǎng)格中,畫出一個(gè)點(diǎn)C,使其滿足線段最短,并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)C的位置是如何找到的(不要求證明)____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=2x+2和直線y=x+2分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B.則下列直線中,與x軸的交點(diǎn)不在線段AB上的直線是( 。
A.y=x+2B.y=x+2C.y=4x+2D.y=x+2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在6×4的方格紙ABCD中,請(qǐng)按要求畫格點(diǎn)線段(端點(diǎn)在格點(diǎn)上),且線段的端點(diǎn)均不與點(diǎn)A,B,C,D重合.
(1)在圖1中畫格點(diǎn)線段EF,GH各一條,使點(diǎn)E,F,G,H分別落在邊AB,BC,CD,DA上,且EF=GH,EF不平行GH;
(2)在圖2中畫格點(diǎn)線段MN,PQ各一條,使點(diǎn)M,N,P,Q分別落在邊AB,BC,CD,DA上,且PQ=MN.
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