Question

【題目】（本題滿分12分）如圖，Rt△中， ， ，點為斜邊的中點，點為邊上的一個動點．連結，過點作的垂線與邊交于點，以為鄰邊作矩形．

（1）如圖1，當，點在邊上時，求DE和EF的長；

（2）如圖2，若，設，矩形的面積為，求y關于的函數表達式；

（3）若，且點恰好落在Rt△的邊上，求的長．

Answer 1

【答案】（1）； ；（2）；（3）9或12.

【解析】試題分析：（1）根據勾股定理求出AB，根據相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根據相似三角形的性質求出DE和BG，求出EF；

（2）作DH⊥AC于H，根據相似三角形的性質得到y關于x的函數解析式；

（3）根據點G在邊BC上和點G在邊AB上兩種情況，根據相似三角形的性質解答．

解：（1）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，

∴AB= =10，

∵D為斜邊AB的中點，

∴AD=BD=5，

∵DEFG為矩形，

∴∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠C，又∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴AD:AC=DE:BC，即5:8=DE:6，

解得，DE=，

∵△ADE∽△FGB，

∴AD:GF=DE:BG，

則BG=，

∴EF=DG=AB-AD-BG=；

（2）過點作于點， 從而．

易得△∽△，

由， 可得， ．

所以．

∴．

（3）由題意，點可以在邊或者上．

①若點在邊上，

由，可知，于是；

②若點在邊上．

記，矩形邊長，

由△∽△， 可得， 即，

化簡可得， 因式分解后有: ， 即．

而由△∽△， 所以， 從而．

綜上知，AC的值為9或12.