Question

如圖，AB是⊙O的弦，D為OA半徑的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OB

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°

∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切線．

（2）連接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴△OAF是等邊三角形，

∴∠AOF=60°

∴∠ABF=∠AOF=30°

 

（3）過點C作CG⊥BE于點G，由CE=CB，

∴EG=BE=5

又Rt△ADE∽Rt△CGE

∴sin∠ECG=sin∠A=，

∴CE==13

∴CG==12，

又CD=15，CE=13，

∴DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△CGE得=

∴AD=•CG=

∴⊙O的半徑為2AD=．