【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(0<t≤15).過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE,EF.

(1)求證:AE=DF;
(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的t值,如果不能,說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△DEF為直角三角形?請說明理由.

【答案】
(1)

證明:∵直角△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°.

∵CD=4t,AE=2t,

又∵在直角△CDF中,∠C=30°,

∴DF= CD=2t,

∴DF=AE


(2)

解:∵DF∥AB,DF=AE,

∴四邊形AEFD是平行四邊形,

當(dāng)AD=AE時(shí),四邊形AEFD是菱形,

即60﹣4t=2t,

解得:t=10,

即當(dāng)t=10時(shí),AEFD是菱形


(3)

解:當(dāng)t= 時(shí)△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);

當(dāng)t=12時(shí),△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).理由如下:

當(dāng)∠EDF=90°時(shí),DE∥BC.

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t,

∴DF=2t=AE,

∴AD=4t,

∴4t+4t=60,

∴t= 時(shí),∠EDF=90°.

當(dāng)∠DEF=90°時(shí),DE⊥EF,

∵四邊形AEFD是平行四邊形,

∴AD∥EF,

∴DE⊥AD,

∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°,

∵∠A=60°,

∴∠DEA=30°,

∴AD= AE,

AD=AC﹣CD=60﹣4t,AE=DF= CD=2t,

∴60﹣4t=t,

解得t=12.

綜上所述,當(dāng)t= 時(shí)△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);當(dāng)t=12時(shí),△DEF是直角三角形(∠DEF=90°)


【解析】(1)利用t表示出CD以及AE的長,然后在直角△CDF中,利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長,即可證明;(2)易證四邊形AEFD是平行四邊形,當(dāng)AD=AE時(shí),四邊形AEFD是菱形,據(jù)此即可列方程求得t的值;(3)分兩種情況討論即可求解.

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(1)若點(diǎn)P在線段AB上,如圖①,且∠α=50°,則∠1+∠2=
(2)若點(diǎn)P在斜邊AB上運(yùn)動(dòng),如圖②,則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為;
(3)如圖③,若點(diǎn)P在斜邊BA的延長線上運(yùn)動(dòng)(CE<CD),請直接寫出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系:;
(4)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外(只需研究圖④情形),則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系?并說明理由.

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