Question

如圖△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC邊上一點(diǎn)，直線DE⊥BC于D，交AB于點(diǎn)E，CF∥AB交直線DE于F．設(shè)CD=x．
（1）當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACF是菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACD的面積等于2？

Answer 1

分析：（1）ED、AC同時(shí)垂直于BC，因此EF∥AC，又有CF∥AB，那么四邊形ACFE是個(gè)平行四邊形，要想使其為菱形，就必須讓CF=AC=2，然后用x表示出，CF、DF的值．在Rt△CDF中用勾股定理求出x的值即可．
（2）由于四邊形ACDE是個(gè)直角梯形，可根據(jù)其面積公式求出關(guān)于x的一元二次方程，然后求出x的值．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵DE⊥BC，
∴EF∥AC
又∵AE∥CF，
∴四邊形EACF是平行四邊形．
當(dāng)CF=AC時(shí)，四邊形ACFE是菱形．
此時(shí)，CF=AC=2，BD=3-x，tanB=

2

3

，
∵tanB=

ED

BD

．
∴ED=BD•tanB=

2

3

（3-x）．
∴DF=EF-ED=2-

2

3

（3-x）=

2

3

x．
在Rt△CDF中，由勾股定理得CD²+DF²=CF²，
∴x²+（

2

3

x）²=2²，
∴x=±

6

13

13

（負(fù)值不合題意，舍去）．
即當(dāng)x=

6

13

13

時(shí)，四邊形ACFE是菱形．

（2）由已知得，四邊形EACD是直角梯形，S_梯形EACD=

1

2

DC•（DE+AC）=

1

2

×（4-

2

3

x）•x=-

1

3

x²+2x，
依題意，得-

1

3

x²+2x=2．
整理，得x²-6x+6=0．
解之，得x₁=3-

3

，x₂=3+

3

．
∵x=3+

3

＞BC=3，
∴x=3+

3

舍去．
∴當(dāng)x=3-

3

時(shí)，梯形EACD的面積等于2．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是如何判定四邊形EFCA是菱形，菱形的判別方法是說(shuō)明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對(duì)角線互相垂直平分．