Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，已知B（4，0），C（2，﹣6）．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)D（m，n）（﹣1＜m＜2）在拋物線(xiàn)圖象上，當(dāng)△ACD的面積為時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為l，點(diǎn)D關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，能否在拋物線(xiàn)圖象和l上分別找到點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣1，0）；（2）D（， ）．（3）能．理由見(jiàn)解析

【解析】分析：(1)由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)的解析式,進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo).(2)過(guò)D作DH垂直x軸于H,CG垂直x軸于G.則,進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo);(3)由D點(diǎn)坐標(biāo),可求得DE的長(zhǎng),當(dāng)DE為邊時(shí),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到PQ=DE=2,從而可求得P點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)DE為對(duì)角線(xiàn)時(shí),可知P點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

本題解析：

（1）∵拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、C二點(diǎn)，且B（4，0），C（2，﹣6），

∴，

解得：，

∴該拋物線(xiàn)的解析式：y=x2﹣3x﹣4，

∵拋物線(xiàn)y=x2﹣3x﹣4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且點(diǎn)A在x軸上

∴x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=﹣1或x2=4（舍去）

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣1，0）；

（2）如圖1，過(guò)D作DH垂直x軸于H，CG垂直x軸于G．

∵點(diǎn)D（m，n）（﹣1＜m＜2），C（2，﹣6）

∴點(diǎn)H（m，0），點(diǎn)G（2，0）．

則S△ACD=S△ADH+S四邊形HDCG﹣S△ACG，

=|n|（m+1）+（|n|+6）（2﹣m）﹣（|﹣1|+2）×|﹣6|

=|n|﹣3m﹣3，

∵點(diǎn)D（m，n）在拋物線(xiàn)圖象上，

∴n=m2﹣3m﹣4，

∵﹣1＜m＜2，即m2﹣3m﹣4＜0

∴|n|=4+3m﹣m2，

∵△ACD的面積為：，

∴（4+3m﹣m2）﹣3m﹣3=

即4m2﹣4m+1=0，

解得m=．

∴D（，）．

（3）能．理由如下：

∵y=x2﹣3x﹣4=，

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l為．

∵點(diǎn)D關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，

∴E（，﹣），∴DE=﹣=2．[來(lái)源:Z&xx&k.Com]

①當(dāng)DE為平行四邊形的一條邊時(shí)，如圖2：

則PQ∥DE且PQ=DE=2．

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為+2=或﹣2=﹣．

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（﹣）2﹣=﹣．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）或（﹣，﹣），

②當(dāng)DE為平行四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)時(shí)，對(duì)角線(xiàn)PQ、DE互相平分，由于Q在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，對(duì)稱(chēng)軸l垂直平分DE，因此點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)上，即為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)（，﹣）．

綜上所述，存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．