【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于點A(2,0)和點B,與y軸交于點C,頂點為點D,對稱軸為直線x=﹣1,點E為線段AC的中點,點F為x軸上一動點.
(1)直接寫出點B的坐標,并求出拋物線的函數(shù)關系式;
(2)當點F的橫坐標為﹣3時,線段EF上存在點H,使△CDH的周長最小,請求出點H,使△CDH的周長最小,請求出點H的坐標;
(3)在y軸左側的拋物線上是否存在點P,使以P,F(xiàn),C,D為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:由A、B關于x=﹣1對稱,得
B(﹣4,0),
∵拋物線y=ax2+bx﹣4過A(2,0)、B(﹣4,0),
∴ ,
解得: ,
∴y= x2+x﹣4
(2)
解:如圖1,
當x=0時,y=﹣4,即C(0,﹣4),
y= x2+x﹣4= (x+1)2﹣
∴D(﹣1,﹣ ),
∵E為線段AC的中點,A(2,0),C(0,﹣4),
∴E(1,﹣2).
∵點F橫坐標為﹣3,
∴F(﹣3,0),
∴AF=5,CF= = =5,
∴AF=CF,
∵E為線段AC的中點,
∴EF垂直平分AC,
∴A、C關于直線EF軸對稱,連接AD,與直線EF交點即為所求H,
∴EF⊥AC.
設直線EF關系式為y=k1x+b1,
∴ ,
解得: ,
∴直線EF:y=﹣ x﹣ ,
設直線AD關系式為y=k2x+b2,
∴ ,
解得: ,
∴y= x﹣3,
聯(lián)立AD,EF,得 ,
∴ ,
∴H( ,﹣ )
(3)
解:若CD為對角線,不存在;
若CD為邊,則PF∥CD且PF=CD,
∵C(0,﹣4),D(﹣1,﹣ ),點F為x軸上一動點,
如圖2,PDCF是平行四邊形,對角線的縱坐標為﹣ ,P點縱坐標﹣ ,
當y=﹣ 時, x2+x﹣4=﹣ ,解得x1=﹣1+2 (舍),x2=﹣1﹣2 ,
∴P1(﹣1﹣2 ,﹣ ).
如圖3,PFDC是平行四邊形,對角線的交點坐標為﹣2,P點坐標為 ,
當y= 時, x2+x﹣4= ,解得x1=﹣1+ (舍),x2=﹣1﹣ ,
∴P2(﹣1﹣ , ).
綜上所述:在y軸左側的拋物線上存在點P,使以P,F(xiàn),C,D為頂點的四邊形是平行四邊形,點P的坐標(﹣1﹣2 ,﹣ ),(﹣1﹣ , )
【解析】(1)根據(jù)軸對稱,可得B點坐標,根據(jù)待定系數(shù)法,可得答案;(2)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系,可得C點坐標,根據(jù)配方法,可得D點坐標,根據(jù)勾股定理,可得CF的長,根據(jù)等腰三角形的性質,可得A,C關于EF對稱,根據(jù)軸對稱的性質,可得PA=PC,根據(jù)兩點之間線段最短,可得P是AD與EF的交點,根據(jù)解方程組,可得答案;(3)根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分,可得P點的縱坐標,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系,可得答案.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識,掌握等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角),以及對平行四邊形的性質的理解,了解平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點D是BC的中點,點E、F分別在線段AD及其延長線上,且DE=DF.下列條件使四邊形BECF為菱形的是( )
A.BE⊥CE
B.BF∥CE
C.BE=CF
D.AB=AC
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】觀察如圖所示的長方體.
(1)用符號表示下列兩棱的位置關系:AB___A′B′,AA′_____AB,D′A′_____D′C′,AD______BC.
(2) A′B′與BC所在的直線是兩條不相交的直線,它們_____平行線.(填“是”或“不是”)
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【題目】A,B,C三名大學生競選系學生會主席,他們的筆試成績和口試成績(單位:分)分別用了兩種方式進行了統(tǒng)計,如下表和圖①:
A | B | C | |
筆試 | 85 | 95 | 90 |
口試 | 80 | 85 |
(1)請將表格和圖①中的空缺部分補充完整;
(2)競選的最后一個程序是由本系的300名學生進行投票,三位候選人的得票情況如圖②(沒有棄權票,每名學生只能推薦一人),請計算每人的得票數(shù);
(3)若每票計1分,系里將筆試、口試、得票三項測試得分按4∶3∶3的比確定個人成績,請計算三位候選人的最后成績,并根據(jù)成績判斷誰能當選.
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【題目】在△ABC中,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合)以AD為邊作正方形ADEF,使∠DAF=∠BAC,連接CF.
(1)如圖1,當點D在線段BC上時,求證:BD=CF;
(2)如圖2,當點D在線段BC的延長線上,且∠BAC=90°時.
①問(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;
②延長BA交CF于點G,連接GE,若AB=2 ,CD=BC,請求出GE的長.
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【題目】如圖,∠1=65°,∠2=65°,∠3=115°.試說明:DE∥BC,DF∥AB.根據(jù)圖形,完成下面的推理:
因為∠1=65°,∠2=65°,
所以∠1=∠2.
所以______________∥ ( ).
因為AB與DE相交,
所以∠1=∠4( ).
所以∠4=65°.
又因為∠3=115°,
所以∠3+∠4=180°.
所以 ∥ ( ).
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【題目】如圖,海邊的一段堤岸高出海平面12米,附近的某建筑物高出海平面50米,演習中的某潛水艇在海平面下30米處.
(1)現(xiàn)以海平面的高度為基準,將其記為0米,高于海平面記為正,低于海平面記為負,那么堤岸、附近建筑物及潛水艇的高度各應如何表示?
(2)若以堤岸高度為基準,則堤岸、建筑物及潛水艇的高度又應如何表示?
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【題目】下列各式:①a0=1;②a2a3=a5;③2﹣2=﹣ ;④﹣(3﹣5)+(﹣2)4÷8×(﹣1)=0;⑤x2+x2=2x2 , 其中正確的是( )
A.①②③
B.①③⑤
C.②③④
D.②④⑤
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【題目】聯(lián)想三角形外心的概念,我們可引入如下概念. 定義:到三角形的兩個頂點距離相等的點,叫做此三角形的準外心.
舉例:如圖1,若PA=PB,則點P為△ABC的準外心.
(1)應用:如圖2,CD為等邊三角形ABC的高,準外心P在高CD上,且PD= AB,求∠APB的度數(shù).
(2)探究:已知△ABC為直角三角形,斜邊BC=5,AB=3,準外心P在AC邊上,試探究PA的長.
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