Question

【題目】聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念． 定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．
舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準(zhǔn)外心．
（1）應(yīng)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD= AB，求∠APB的度數(shù)．
（2）探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，

∵CD為等邊三角形的高，

∴AD=BD，∠PCB=30°，

∴∠PBD=∠PBC=30°，

∴PD= DB= AB，

與已知PD= AB矛盾，∴PB≠PC，

②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC，

③若PA=PB，由PD= AB，得PD=BD，

∴∠APD=45°，

故∠APB=90°

（2）解：∵BC=5，AB=3，

∴AC= = =4，

①若PB=PC，設(shè)PA=x，則x2+32=（4﹣x）2，

∴x= ，即PA= ，

②若PA=PC，則PA=2，

③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能．

故PA=2或 .

【解析】應(yīng)用：連接PA、PB，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質(zhì)求出PD與AB的關(guān)系，然后判斷出只有情況③是合適的，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度數(shù)； 探究：先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況，根據(jù)三角形的性質(zhì)計算即可得解．
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．