【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3,0),B(1,0),C(0,﹣3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),設(shè)△PAC的面積為S,求S的最大值;

(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,DEx軸于點(diǎn)E,在y軸上是否存在點(diǎn)M,使得△ADM是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=x2+2x﹣3;(2)當(dāng)時(shí),S有最大值.(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

【解析】試題分析:(1)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式;
2)過點(diǎn)Px軸的垂線,交AC于點(diǎn)N,先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(xx2+2x-3),根據(jù)AC的解析式表示出點(diǎn)N的坐標(biāo),再根據(jù)SPAC=SPAN+SPCN就可以表示出PAC的面積,運(yùn)用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論;
3)分三種情況進(jìn)行討論:①以A為直角頂點(diǎn);②以D為直角頂點(diǎn);③以M為直角頂點(diǎn);設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0t),根據(jù)勾股定理列出方程,求出t的值即可.

試題解析:(1)由于拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A﹣3,0),B1,0),

可設(shè)拋物線的解析式為:y=ax+3)(x﹣1),
C點(diǎn)坐標(biāo)(0,﹣3)代入,得:a0+3)(0﹣1=-3,解得 a=1.

∴拋物線的解析式為:y=x+3)(x﹣1),即y=x2+2x﹣3

2)如圖1,過點(diǎn)Px軸的垂線,交AC于點(diǎn)N
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m,由題意,得,解得.
∴直線AC的解析式為:y=x3.
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(xx2+2x3),
則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x,x3),
PN=PENE=-x2+2x3+x3=x23x.
SPAC=SPAN+SPCN
.
∴當(dāng)時(shí),S有最大值.

3)在y軸上存在點(diǎn)M,能夠使得ADE是直角三角形.理由如下:
y=x2+2x3=x+124∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,4.
A3,0), AD2=1+32+402=20.
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,t),分三種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖2,
由勾股定理,得AM2+AD2=DM2,
即(0+32+t02+20=0+12+t+42,解得.
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為
②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖3,

由勾股定理,得DM2+AD2=AM2
即(0+12+t+42+20=0+32+t02,解得
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為
③當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖4
由勾股定理,得AM2+DM2=AD2
即(0+32+t02+0+12+t+42=20,

解得t=1或﹣3
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1)或(0,3.
綜上所述,在y軸上存在點(diǎn)M,能夠使得ADE是直角三角形,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

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(3)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(3)位置時(shí)(BD>CE),其余條件不變,問BD與DE,CE的關(guān)系如何?請(qǐng)直接寫出結(jié)果,不需說明理由.

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