Question

【題目】在銳角△ABC中，∠BAC＝60，BD、CE為高，F為BC的中點，連接DE、DF、EF，則結論：①DF＝EF；②AD∶AB＝AE∶AC；③△DEF是等邊三角形；④BE＋CD＝BC；⑤當∠ABC＝45時，BE＝DE中，一定正確的有 ．

Answer 1

【答案】①②③⑤
【解析】解：①∵BD、CE為高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．
∵F是BC的中點，∴EF=DF= BC．①正確；
②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．②正確；
③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵F是BC的中點，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．
∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又∵EF=FD，∴△DEF是等邊三角形．③正確；
④若BE+CD=BC，則可在BC上截取BH=BE，則HC=CD．
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE，HC=CD，
∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．
所以存在滿足條件的點，假設成立，但一般情況不一定成立，故錯誤；
⑤∵∠ABC=45°，∴BE= BC= DE．
故答案為①②③⑤
利用直角三角形的斜邊中線定理可得EF=DF= BC；可證出△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC；由∠BFE+∠CFD=360°-120°-120°=120°，可知∠EFD=60°．又∵EF=FD，∴△DEF是等邊三角形；可采用反證法得出④錯誤；若∠ABC=45°，可得BE= BC= DE.