Question

（2002•哈爾濱）如圖，⊙O₁和⊙O₂外切于點(diǎn)A，BC是⊙O₁和⊙O₂的外公切線(xiàn)，B、C為切點(diǎn)．AT為內(nèi)公切線(xiàn)，AT與BC相交于點(diǎn)T．延長(zhǎng)BA、CA，分別與兩圓交于點(diǎn)E、F．
（1）求證：AB•AC=AE•AF；
（2）若AT=2，⊙O₁與⊙O₂的半徑之比為1：3，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將所求的乘積式化為比例式，連接BF、CE，通過(guò)證比例線(xiàn)段所在的三角形相似即可；
（2）由于BC、TA都是兩圓的切線(xiàn)，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知TA=TB=TC，由此可得到∠BAC=90°，即△BAF、△ECA都是Rt△，那么FB、EC必為兩圓的直徑；連接O₁O₂，過(guò)O₁作EC的垂線(xiàn)設(shè)垂足為M；在Rt△O₁O₂M中，根據(jù)O₁O₂及O₂M的長(zhǎng)，可求得∠O₁O₂的度數(shù)，即可得到O₁O₂的長(zhǎng)及兩圓半徑的值；在Rt△AEC中，由圓周角定理易得到∠AEC的度數(shù)，進(jìn)而可通過(guò)解直角三角形求得AE的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：連接BF、CE；
∵TA是兩圓的公切線(xiàn)，
∴∠TAB=∠BFA，∠NAE=∠ACE；
∵∠TAB=∠NAE，
∴∠BFA=∠ACE；
∴BF∥CE；
∴△BAF∽△EAC；
∴，即AB•AC=AE•AF；

（2）解：連接O₁O₂，過(guò)O₁作O₁M⊥EC于M；
∵TA、BC都是兩圓的切線(xiàn)，
∴TB=TA=TC，即△BAC是Rt△，且∠BAC=90°；
∴∠BAF=∠CAE=90°；
∴BF、EC分別是兩圓的直徑；
設(shè)⊙₁的半徑為R，則⊙O₂的半徑為3R；
Rt△O₁O₂M中，O₁O₂=R+3R=4R，O₂M=3R-R=2R；
∴∠O₁O₂M=60°，O₁O₂=O₁M÷sin60°；
∵O₁M=BC=2TA=4，則O₁O₂=；
∴O₂A=2；
Rt△EAC中，EC=2O₂A=4，∠E=∠O₁O₂M=30°；
∴AE=EC•cos30°=6．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了弦切角定理、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，能夠發(fā)現(xiàn)△EAC、△FAB是直角三角形是解答（2）題的關(guān)鍵．