Question

如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AD邊上一點，連接BE，將△ABE沿BE對折，A點恰好落在對角線BD上的點F處．延長AF，與CD邊交于點G，延長FE，與BA的延長線交于點H，則下列說法：①△BFH為等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA； ③∠DFG=60°；④DE=2-

2

；⑤S_△AEF=S_△DFG．其中正確的說法有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：①由折疊后對稱很容易得到結果．②由上一證結論，并證明△AHF≌△ADF從而證得．③由①證得：∠ABE=∠DAG=22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD=67.5°故不正確．④根據(jù)對折可以證明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF=

2

-1，所以DE=

2

DF，從而得證．⑤過D作DI垂直于FG，垂足為I，EB與AF的交點為G，證明三角形DFI與EFG全等．

解答：解：由題意三角形ABE對折后為三角EFB，
∴∠EFB=∠DAB=90°，
由題意正方形ABCD，連接BD，
則角ABF=45°，
∴在直角三角形BHF中HF=BF，
故①正確．
由上一證知：HF=BF=AB，∠FHB=∠ADB=45°，
又知AF為公共邊，
∴△AHF≌△ADF，
故②正確．
由①證得：∠ABE=∠DAG=22.5°，
由已知∠BDC=45°，
∴在直角三角形ADG中，角AGD=67.5°，
在三角形DFG中角DFG=67.5°，
故③不正確；
根據(jù)對折可以證明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF=

2

-1，
所以DE=

2

DF，
即④正確，
或者過D作FG的垂線證明三角形全等，
⑤過D作DI垂直于FG，垂足為I，EB與AF的交點為G，
而這兩個三角形的面積分別等于相應所在三角形的面積的一半，
所以證得三角形DFI與EFG全等．
故⑤正確．
所以①②④⑤正確．
故選D．

點評：本題考查了正方形的性質，①由折疊后對稱很容易得到結果．②由上一證結論，并證明△AHF≌△ADF從而證得．③由①證得：∠ABE=∠DAG=22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD=67.5°故不正確．④根據(jù)對折可以證明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF=

2

-1，所以DE=

2

DF，從而得證．⑤過D作DI垂直于FG，垂足為I，EB與AF的交點為G證明三角形DFI與EFG全等．