Question

（2012•蘭州）如圖，定義：若雙曲線y=

k

x

（k＞0）與它的其中一條對稱軸y=x相交于A、B兩點，則線段AB的長度為雙曲線y=

k

x

（k＞0）的對徑．
（1）求雙曲線y=

1

x

的對徑．
（2）若雙曲線y=

k

x

（k＞0）的對徑是10

2

，求k的值．
（3）仿照上述定義，定義雙曲線y=

k

x

（k＜0）的對徑．

Answer 1

分析：過A點作AC⊥x軸于C，
（1）先解方程組

y= 1 x y=x

，可得到A點坐標(biāo)為（1，1），B點坐標(biāo)為（-1，-1），即OC=AC=1，則△OAC為等腰直角三角形，得到OA=

2

OC=

2

，則AB=2OA=2

2

，于是得到雙曲線y=

1

x

的對徑；
（2）根據(jù)雙曲線的對徑的定義得到當(dāng)雙曲線的對徑為10

2

，即AB=10

2

，OA=5

2

，根據(jù)OA=

2

OC=

2

AC，則OC=AC=5，得到點A坐標(biāo)為（5，5），把A（5，5）代入雙曲線y=

k

x

（k＞0）即可得到k的值；
（3）雙曲線y=

k

x

（k＜0）的一條對稱軸與雙曲線有兩個交點，根據(jù)題目中的定義易得到雙曲線y=

k

x

（k＜0）的對徑．

解答：解：過A點作AC⊥x軸于C，如圖，
（1）解方程組

y= 1 x y=x

，得

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

，
∴A點坐標(biāo)為（1，1），B點坐標(biāo)為（-1，-1），
∴OC=AC=1，
∴OA=

2

OC=

2

，
∴AB=2OA=2

2

，
∴雙曲線y=

1

x

的對徑是2

2

；

（2）∵雙曲線的對徑為10

2

，即AB=10

2

，OA=5

2

，
∴OA=

2

OC=

2

AC，
∴OC=AC=5，
∴點A坐標(biāo)為（5，5），
把A（5，5）代入雙曲線y=

k

x

（k＞0）得k=5×5=25，
即k的值為25；

（3）若雙曲線y=

k

x

（k＜0）與它的其中一條對稱軸y=-x相交于A、B兩點，
則線段AB的長稱為雙曲線y=

k

x

（k＜0）的對徑．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點在反比例函數(shù)圖象上，點的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式；等腰直角三角形的斜邊是直角邊的

2

倍；強化理解能力．