Question

【題目】課本中有一道作業(yè)題： 有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？
小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題．


（1）如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算．
（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)矩形的邊長PN=2y（mm），則PQ=y（mm），由條件可得△APN∽△ABC，

∴ ，

即 = ，

解得y= ，

∴PN= ×2= （mm），

答：這個矩形零件的兩條邊長分別為 mm， mm

（2）解：設(shè)PN=x（mm），矩形PQMN的面積為S（mm2），

由條件可得△APN∽△ABC，

∴ ，

即 = ，

解得PQ=80﹣ x．

∴S=PNPQ=x（80﹣ x）=﹣ x2+80x=﹣ （x﹣60）2+2400，

∴S的最大值為2400mm2，此時PN=60mm，PQ=80﹣ ×60=40（mm）

【解析】（1）設(shè)PN=2y（mm），則PQ=y（mm），然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式求出即可；（2）設(shè)PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a，以及對相似三角形的應(yīng)用的理解，了解測高：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達(dá)兩點間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．