【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,點E在AD邊上運動,且不與點A和點D重合,連結(jié)CE,過點C作CF⊥CE交AB的延長線于點F,EF交BC于點G.
(1)求證:△CDE≌△CBF;
(2)當(dāng)DE= 時,求CG的長;
(3)連結(jié)AG,在點E運動過程中,四邊形CEAG能否為平行四邊形?若能,求出此時DE的長;若不能,說明理由.
【答案】
(1)
證明:如圖,在正方形ABCD中,DC=BC,∠D=∠ABC=∠DCB=90°,
∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°,∠1+∠2=∠DCB=90°,
∵CF⊥CE,
∴∠ECF=90°,
∴∠3+∠2=∠ECF=90°,
∴∠1=∠3,
在△CDE和△CBF中, ,
∴△CDE≌△CBF
(2)
解:在正方形ABCD中,AD∥BC,
∴△GBF∽△EAF,
∴ ,
由(1)知,△CDE≌△CBF,
∴BF=DE= ,
∵正方形的邊長為1,
∴AF=AB+BF= ,AE=AD﹣DE= ,
∴ ,
∴BG= ,
∴CG=BC﹣BG=
(3)
解:不能,
理由:若四邊形CEAG是平行四邊形,則必須滿足AE∥CG,AE=CG,
∴AD﹣AE=BC﹣CG,
∴DE=BG,
由(1)知,△CDE≌△ECF,
∴DE=BF,CE=CF,
∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形,
∴∠GFB=45°,∠CFE=45°,
∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°,
此時點F與點B重合,點D與點E重合,與題目條件不符,
∴點E在運動過程中,四邊形CEAG不能是平行四邊形.
【解析】(1)先判斷出∠CBF=90°,進而判斷出∠1=∠3,即可得出結(jié)論;(2)先求出AF,AE,再判斷出△GBF∽△EAF,可求出BG,即可得出結(jié)論;(3)假設(shè)是平行四邊形,先判斷出DE=BG,進而判斷出△GBF和△ECF是等腰直角三角形,即可得出∠GFB=∠CFE=45°,即可得出結(jié)論.
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點,則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點,并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題.
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【題目】如圖,在⊙O中,弦AB與弦CD相交于點G,OA⊥CD于點E,過點B的直線與CD的延長線交于點F,AC∥BF.
(1)若∠FGB=∠FBG,求證:BF是⊙O的切線;
(2)若tan∠F= ,CD=a,請用a表示⊙O的半徑;
(3)求證:GF2﹣GB2=DFGF.
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【題目】已知AB為⊙O的直徑,BC⊥AB于B,且BC=AB,D為半圓⊙O上的一點,連接BD并延長交半圓⊙O的切線AE于E.
(1)如圖1,若CD=CB,求證:CD是⊙O的切線;
(2)如圖2,若F點在OB上,且CD⊥DF,求 的值.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D,過點C作CF∥AB,與過點B的切線交于點F,連接BD.
(1)求證:BD=BF;
(2)若AB=10,CD=4,求BC的長.
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【題目】如圖,△ABC的三個頂點分別為A(1,2),B(4,2),C(4,4).若反比例函數(shù)y= 在第一象限內(nèi)的圖象與△ABC有交點,則k的取值范圍是( )
A.1≤k≤4
B.2≤k≤8
C.2≤k≤16
D.8≤k≤16
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【題目】如圖,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,△ABC的頂點均在格點上.
(1)畫出△ABC關(guān)于原點成中心對稱的△A'B'C',并直接寫出△A'B'C'各頂點的坐標(biāo).
(2)求點B旋轉(zhuǎn)到點B'的路徑長(結(jié)果保留π).
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【題目】小蘇和小林在如圖1所示的跑道上進行4×50米折返跑.在整個過程中,跑步者距起跑線的距離y(單位:m)與跑步時間t(單位:s)的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示.下列敘述正確的是( )
A.兩人從起跑線同時出發(fā),同時到達(dá)終點
B.小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C.小蘇前15s跑過的路程大于小林前15s跑過的路程
D.小林在跑最后100m的過程中,與小蘇相遇2次
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【題目】如圖,正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別在邊AB,BC上,AF=DE,AF和DE相交于點G,
(1)觀察圖形,寫出圖中所有與∠AED相等的角.
(2)選擇圖中與∠AED相等的任意一個角,并加以證明.
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