【題目】已知AB為⊙O的直徑,BC⊥AB于B,且BC=AB,D為半圓⊙O上的一點(diǎn),連接BD并延長交半圓⊙O的切線AE于E.
(1)如圖1,若CD=CB,求證:CD是⊙O的切線;
(2)如圖2,若F點(diǎn)在OB上,且CD⊥DF,求 的值.
【答案】
(1)
解:連接DO,CO,
∵BC⊥AB于B,
∴∠ABC=90°,
在△CDO與△CBO中, ,
∴△CDO≌△CBO,
∴∠CDO=∠CBO=90°,
∴OD⊥CD,
∴CD是⊙O的切線
(2)
解:連接AD,
∵AB是直徑,∴∠ADB=90°,
∴∠ADF+∠BDF=90°,∠DAB+∠DBA=90°,
∵∠BDF+∠BDC=90°,∠CBD+∠DBA=90°,
∴∠ADF=∠BDC,∠DAB=∠CBD,
∵在△ADF和△BDC中, ,
∴△ADF∽△BDC,
∴ = ,
∵∠DAE+∠DAB=90°,∠E+∠DAE=90°,
∴∠E=∠DAB,
∵在△ADE和△BDA中, ,
∴△ADE∽△BDA,
∴ = ,
∴ = ,即 = ,
∵AB=BC,
∴ =1
【解析】(1)連接DO,CO,易證△CDO≌△CBO,即可解題;(2)連接AD,易證△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)即可解題.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了垂徑定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條;相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知l1∥l2∥l3 , 相鄰兩條平行直線間的距離相等,若等腰直角△ABC的三個頂點(diǎn)分別在這三條平行直線上,則sinα的值是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點(diǎn),連接AE、BF,交點(diǎn)為G.
(1)求證:AE⊥BF;
(2)將△BCF沿BF對折,得到△BPF(如圖2),延長FP到BA的延長線于點(diǎn)Q,求sin∠BQP的值;
(3)將△ABE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn),使邊AB正好落在AE上,得到△AHM(如圖3),若AM和BF相交于點(diǎn)N,當(dāng)正方形ABCD的面積為4時,求四邊形GHMN的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市某中學(xué)決定在學(xué)生中開展丟沙包、打籃球、跳大繩和踢毽球四種項(xiàng)目的活動,為了解學(xué)生對四種項(xiàng)目的喜歡情況,隨機(jī)調(diào)查了該校m 名學(xué)生最喜歡的一種項(xiàng)目(每名學(xué)生必選且只能選擇四種活動項(xiàng)目的一種),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下的不完整的統(tǒng)計圖表:
學(xué)生最喜歡的活動項(xiàng)目的人數(shù)統(tǒng)計表
根據(jù)圖表中提供的信息,解答下列問題:
(1)m=;n=;p=.
(2)請根據(jù)以上信息直接補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請你估計該校2000 名學(xué)生中有多少名學(xué)生最喜歡跳大繩.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y= x﹣6分別交x軸,y軸于A,B,M是反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上位于直線上方的一點(diǎn),MC∥x軸交AB于C,MD⊥MC交AB于D,ACBD=4 ,則k的值為( )
A.﹣3
B.﹣4
C.﹣5
D.﹣6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)B在第二象限.將矩形OABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)B落在y軸上,得到矩形ODEF,BC與OD相交于點(diǎn)M.若經(jīng)過點(diǎn)M的反比例函數(shù)y= (x<0)的圖象交AB于點(diǎn)N,S矩形OABC=32,tan∠DOE= ,則BN的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,添加下列條件不能判定ABCD是菱形的只有( )
A.AC⊥BD
B.AB=BC
C.AC=BD
D.∠1=∠2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動,且不與點(diǎn)A和點(diǎn)D重合,連結(jié)CE,過點(diǎn)C作CF⊥CE交AB的延長線于點(diǎn)F,EF交BC于點(diǎn)G.
(1)求證:△CDE≌△CBF;
(2)當(dāng)DE= 時,求CG的長;
(3)連結(jié)AG,在點(diǎn)E運(yùn)動過程中,四邊形CEAG能否為平行四邊形?若能,求出此時DE的長;若不能,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某種電動汽車的性能,對這種電動汽車進(jìn)行了抽檢,將一次充電后行駛的里程數(shù)分為A,B,C,D四個等級,其中相應(yīng)等級的里程依次為200千米,210千米,220千米,230千米,獲得如下不完整的統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)問這次被抽檢的電動汽車共有幾輛?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(2)估計這種電動汽車一次充電后行駛的平均里程數(shù)為多少千米?
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