【題目】如圖1,AB為半圓O的直徑,D為BA的延長線上一點,DC為半圓O的切線,切點為C.
(1)求證:∠ACD=∠B;
(2)如圖2,∠BDC的平分線分別交AC,BC于點E,F(xiàn);
①求tan∠CFE的值;
②若AC=3,BC=4,求CE的長.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角及等角的余角相等即可證明結(jié)論.
(2)①由∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,即可得∠CEF=∠CF,再由∠ECF=90°,可得∠CEF=∠CFE=45°,即可得結(jié)論.
②由勾股定理可求得AB=5,根據(jù)已知易證△DCA∽△DBC,得,設(shè)DC=3k,DB=4k,由CD2=DADB,得9k2=(4k﹣5)4k,由此求出DC,DB,再由△DCE∽△DBF,得,設(shè)EC=CF=x,列出方程即可解決問題.
試題解析:(1)證明:如圖1中,連接OC.
∵OA=OC,
∴∠1=∠2,
∵CD是⊙O切線,
∴OC⊥CD,
∴∠DCO=90°,
∴∠3+∠2=90°,
∵AB是直徑,
∴∠1+∠B=90°,
∴∠3=∠B.
(2)解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,
∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,
∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°,
∴∠CEF=∠CFE=45°,
∴tan∠CFE=tan45°=1.
②在RT△ABC中,∵AC=3,BC=4,
由勾股定理得AB=5,
∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,
∴△DCA∽△DBC,
∴,設(shè)DC=3k,DB=4k,
∵CD2=DADB,
∴9k2=(4k﹣5)4k,
∴k=,
∴CD=,DB=,
∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,
∴△DCE∽△DBF,
∴,設(shè)EC=CF=x,
∴,
∴x=.
∴CE=.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于點D,AE∥BD交CB的延長線于點E.若∠E=35°, 則∠BAC的度數(shù)為( )
A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°
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【題目】觀察下面的點陣圖和相應(yīng)的等式,探究其中的規(guī)律:
(1)在④和⑤后面的橫線上分別寫出相應(yīng)的等式;
(2)根據(jù)上面算式的規(guī)律,請計算:1+3+5+…+199=________;
(3)請你用代數(shù)式表示出上面規(guī)律.
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【題目】當(dāng)人用眼睛看其他事物時,人眼睛的位置稱為________,由________發(fā)出的射線稱為________.人的眼睛看不到的地方稱為________.
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【題目】下列計算正確的是( 。
A. 3a+2a=5a2 B. 4x﹣3x=1 C. 3a+2a=5ab D. 3x2y﹣2yx2=x2y
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【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB為直徑,過點B的切線與AC的延長線交于點D,E是BD中點,連接CE.
(1)求證:CE是⊙O的切線;
(2)若AC=4,BC=2,求BD和CE的長.
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【題目】小明對小麗說:“請你任意想一個數(shù),把這個數(shù)乘2后加12,然后除以6,再減去你原來所想的那個數(shù)與6的差的三分之一,我可以知道你計算的結(jié)果.”請你根據(jù)小明的說法探索:
(1)如果小麗一開始想的那個數(shù)是-5,請列式并計算結(jié)果;
(2)如果小麗一開始想的那個數(shù)是,請列式并計算結(jié)果;
(3)根據(jù)(1)、(2),嘗試寫出一個結(jié)論.
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