Question

【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,BD是△ABC的角平分線,P是射線AC上任意一點(diǎn) (不與A. D. C三點(diǎn)重合)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為Q，交直線BD于E.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，說明∠PDE=∠PED.

(2)作∠CPQ的角平分線交直線AB于點(diǎn)F，則PF與BD有怎樣的位置關(guān)系?畫出圖形并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PF∥BD；理由詳見解析；PF⊥BD，理由見解析；

【解析】

（1）由PQ與AB垂直，得到一對(duì)直角相等，理由直角三角形的兩銳角互余得到兩對(duì)角互余，再BD為角平分線，利用角平分線定義得到一對(duì)角相等，再由對(duì)頂角相等，利用等量代換即可得證；

（2）分兩種情況，當(dāng)P在線段AC上時(shí)，如圖1所示，可得出PF與BD平行，由第一問的結(jié)論利用等角對(duì)等邊得到PD=PE，利用角平分線定義及外角性質(zhì)得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得證；當(dāng)P在AC延長(zhǎng)線時(shí)，PF垂直于BD，由PD=PE，利用三線合一即可得證．

(1)∵PQ⊥AB，

∴∠EQB=∠C=90°，

∴∠BEQ+∠EBQ=90°,∠CBD+∠PDE=90°，

∵BD為∠ABC的平分線，

∴∠CBD=∠EBQ，

∵∠PED=∠BEQ，

∴∠PDE=∠PED；

(2)當(dāng)P在線段AC上時(shí),如圖1所示,此時(shí)PF∥BD，

理由為：∵∠PDE=∠PED，

∴PD=PE，

∵PF為∠CPQ的平分線，∠CPQ為△PDE的外角，

∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED，

∴PF∥BD；

當(dāng)P在線段AC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，PF⊥BD，

理由為：∵∠PDE=∠PED，

∴PD=PE，

∵PM為∠CPQ的平分線，

∴PF⊥BD.