Question

【題目】（問(wèn)題背景）如圖1,在四邊形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90o，AD=BD， 探究線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系

小明同學(xué)探究此問(wèn)題的思路是：將△BCD繞點(diǎn)D,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o到△AED處,點(diǎn)B,C分別 落在點(diǎn)A,E處(如圖2),易證點(diǎn)C,A,E在同一條直線上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,從而得出結(jié)論：AC+BC= CD

（簡(jiǎn)單應(yīng)用）

(1)在圖1中,若AC=6,CD=，則AB= .

(2)如圖3,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C.D在⊙O上,∠C=45o，若AB=25，BC=24，求CD的長(zhǎng)．

（拓展延伸）

(3)如圖4,∠ACB=∠ADB=90o,AD=BD,若AC=,CD=,求BC的長(zhǎng).(用含,的代數(shù)式表示)

Answer 1

【答案】（1）10；（2）；（3）

【解析】

（1）利用題中結(jié)論先計(jì)算出BC＝8，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算AB的長(zhǎng)；

（2）如圖3，連接AC，AD，BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC＝7，再證明AD＝BD，則可利用題中結(jié)論求出CD；

（3）根據(jù)圓周角定理可判斷點(diǎn)C、D在以AB為直徑的⊙O上，再利用DA＝DB得到∠DCB＝∠DAB＝45°，所以∠ACD＝135°，作DE⊥CD交BC于E，如圖4，則△CDE為等腰直角三角形，所以CE= CD=,，然后證明△ACD≌△BED得到BE＝AC＝a，于是有BC＝CE＋BE＝．

(1)∵AC+BC=CD∴6+BC=×,∴BC=8，∴AB=10

(2)如圖3，連接AC，AD，BD，

∵AB為直徑，∴∠ACB=90o，

∴AC=

∵∠BCD=45，

∴∠ACD=∠BCD=45o，

∴AD=BD，

∴AC+BC=CD, 即7+24=CD，

∴CD=

(3)∵∠ACB=∠ADB=90o，∴點(diǎn)C.D在以AB為直徑的⊙O上，

∵DA=DB，∴∠DAB=45，∴∠DCB=∠DAB=45o，∴∠ACD=135o，

作DE⊥CD交BC于E，如圖4，

∴△CDE為等腰直角三角形，

∴CE= CD=,∠CED=45o，

∴∠BED=135，

在△ACD和△BED中

∴△ACD≌△BED(ASA)，

∴BE=AC=a，∴BC=CE+BE=