Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P（x，y），其中y≠0，我們把點(diǎn)P′（-x+1，1-$\frac{1}{y}$）叫做點(diǎn)P的衍生點(diǎn)．已知點(diǎn)A₁的衍生點(diǎn)為A₂，點(diǎn)A₂的衍生點(diǎn)為A₃，點(diǎn)A₃的衍生點(diǎn)為A₄，…，這樣依次得到點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n，…．若點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，-1），那么點(diǎn)A₂₀₁₅的坐標(biāo)為（2，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)衍生點(diǎn)的定義，若點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（a，b），分別計(jì)算點(diǎn)A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，A₇的坐標(biāo)，根據(jù)計(jì)算結(jié)果得到這些點(diǎn)的坐標(biāo)每6個(gè)一循環(huán)，則可利用2015=335×6+5，可判斷點(diǎn)A₂₀₁₅的坐標(biāo)與點(diǎn)A₅相同，即為（a，$\frac{b-1}$）．

解答 解：若點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（a，b），
點(diǎn)A₁的衍生點(diǎn)為A₂的坐標(biāo)為（-a+1，1-$\frac{1}$），即A₂（-a+1，$\frac{b-1}$）；
點(diǎn)A₂的衍生點(diǎn)為A₃的坐標(biāo)為（a-1+1，1-$\frac{1}{\frac{b-1}}$），即A₃（a，-$\frac{1}{b-1}$）；
點(diǎn)A₃的衍生點(diǎn)為A₄的坐標(biāo)為（-a+1，1-$\frac{1}{-\frac{1}{b-1}}$），即A₄（-a+1，b）；
點(diǎn)A₄的衍生點(diǎn)為A₅的坐標(biāo)為（a-1+1，1-$\frac{1}$），即A₅（a，$\frac{b-1}$）；
點(diǎn)A₅的衍生點(diǎn)為A₆的坐標(biāo)為（-a+1，1-$\frac{1}{\frac{b-1}}$），即A₆（-a+1，-$\frac{1}{b-1}$）；
點(diǎn)A₆的衍生點(diǎn)為A₇的坐標(biāo)為（a-1+1，1-$\frac{1}{-\frac{1}{b-1}}$），即A₇（a，b），
…
而2015=335×6+5，
所以點(diǎn)A₂₀₁₅的坐標(biāo)與點(diǎn)A₅相同，即為（a，$\frac{b-1}$）．
∵點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（2，-1），
∴a=2，b=-1．
∵a=2，$\frac{b-1}$=$\frac{-1-1}{-1}$=2，
∴點(diǎn)A₂₀₁₅的坐標(biāo)為（2，2），
故答案為：（2，2）．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，將數(shù)學(xué)周期的思想進(jìn)行了初步滲透，屬于中檔題，利用衍生點(diǎn)的定義得出規(guī)律：這些點(diǎn)的坐標(biāo)每6個(gè)一循環(huán)，即點(diǎn)A₁與點(diǎn)A₇重合是解題關(guān)鍵．