Question

【題目】如圖,已知拋物線y=ax+bx+c經過A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三點,其頂點為D,對稱軸是直線l,l與x軸交于點H

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點,求△PBC周長的最小值;

(3)如圖(2),若B是線段AD上的一個動點(E與A.D不重合),過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F,交x軸于點G,設點E的橫坐標為m,△ADF的面積為S.

①求S與m的函數(shù)關系式

②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此時點E的坐標;若不存在,請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=-x-2x+3;（2）3+

（3）①②（-2,2）

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)圖象經過的三點,用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可;

(2)根據(jù)BC是定值,得到當PB+PC最小時,△PBC的周長最小,根據(jù)點的坐標求得相應線段的長即可;

(3)設點E的橫坐標為m,表示出E(m,2m+6),F(m,-m-2m+3),最后表示出EF的長,從而表示

出S于m的函數(shù)關系,然后求二次函數(shù)的最值即可解答

(1)由題意可知

解得:

∴拋物線的解析式為:y=-x-2x+3;

（2）∵△PBC的周長為:PB+PC+BC

∵BC是定值,

∴當PB+PC最小時,△PBC的周長最小

∵點A點B關于對稱軸對稱,

∴連接AC交1于點P,即點P為所求的點

.∵AP= BP

∴△PBC的周長最小是:

PB+PC+BC=AC+BC

∵A(-3,0),B(1,0),C(0,3),

∴AC=3 BC=

故△PBC周長的最小值為3+

（3）①:拋物線y=-x-2x+3;頂點D的坐標為(-1,4)

∵A(-3,0)

∴直線AD的解析式為y=2x+6

∵點E的橫坐標為m

∴E(m,2m+6),F(m,-m-2m+3

∴EF=-m-2m+3-(2m+6)=-m-4m-3

∴S= S△DEF+S△AEF=

②

∴當m=-2時，S最大，最大值為1

此時點E的坐標為（-2,2）