Question

【題目】如圖示，正方形ABCD的頂點A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BD相交于點H，連接CF．

①求證：△DAE≌△DCF．

②求證：AH2=AE2+HF2．

Answer 1

【答案】①詳見解析；②詳見解析．

【解析】

由正方形ABCD與等腰直角三角形DEF,得到兩對邊相等,一對直角相等,利用SAS即可得證;

連接CH,求證△ADH≌△CDH和△ADE≌△CDF,再根據(jù)題目條件得出為直角三角形，即可求解.

證明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，

∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，

∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

②連接CH，

∵DA=DC，∠ADH=∠CDH=45°，DH=DH，

∴△ADH≌△CDH（SAS），

∴AH=CH，

∵△ADE≌△CDF（SAS），

∴∠E=∠DFC=45°，

∵∠DFE=45°，

∴∠HFC=90°，

∴CH2=FH2+CF2，

∴AH2=FH2+CF2．