Question

【題目】實踐操作：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，現(xiàn)將紙片折疊，點D的對應(yīng)點記為點P，折痕為EF（點E、F是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原．

初步思考：

（1）若點P落在矩形ABCD的邊AB上（如圖①）

①當(dāng)點P與點A重合時，∠DEF＝　 　°；當(dāng)點E與點A重合時，∠DEF＝　 　°；

②當(dāng)點E在AB上，點F在DC上時（如圖②），

求證：四邊形DEPF為菱形，并直接寫出當(dāng)AP＝3.5時的菱形EPFD的邊長．

深入探究

（2）若點P落在矩形ABCD的內(nèi)部（如圖③），且點E、F分別在AD、DC邊上，請直接寫出AP的最小值　 　．

拓展延伸

（3）若點F與點C重合，點E在AD上，線段BA與線段FP交于點M（如圖④）．在各種不同的折疊位置中，是否存在某一情況，使得線段AM與線段DE的長度相等？若存在，請直接寫出線段AE的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】⑴①90；45 ② （2）最小值為1 (3)

【解析】

（1）①當(dāng)點P與點A重合時，如圖1，畫出圖形可得結(jié)論；

當(dāng)點E與點A重合時，如圖2，則EF平分∠DAB；

②證明△DOF≌△POE（ASA）得DF=PE，根據(jù)一組對邊平行且相等得：四邊形DEPF是平行四邊形，加上對角線互相垂直可得DEPF為菱形，

當(dāng)AP=7時，設(shè)菱形的邊長為x，根據(jù)勾股定理列方程得：62+（7-x）2=x2，求出x的值即可；

（2）如圖4，當(dāng)F與C重合，點P在對角線AC上時，AP有最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)求CD=PC=4，由勾股定理求AC=5，所以AP=5-4=1；

（3）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可．

（1）①當(dāng)點P與點A重合時，如圖1，

∴EF是AD的中垂線，

∴∠DEF=90°，

當(dāng)點E與點A重合時，如圖2，

此時∠DEF=∠DAB=45°，

故答案為：90°，45°；

②當(dāng)點E在AB上，點F在DC上時，如圖3，

∵EF是PD的中垂線，

∴DO=PO，EF⊥PD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，

∴∠FDO=∠EPO，

∵∠DOF=∠EOP，

∴△DOF≌△POE（ASA），

∴DF=PE，

∵DF∥PE，

∴四邊形DEPF是平行四邊形，

∵EF⊥PD，

∴DEPF為菱形，

當(dāng)AP=3.5時，設(shè)菱形的邊長為x，則AE=3.5-x，DE=x，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，

∴32+（3.5-x）2=x2，

x=，

∴當(dāng)AP=3.5時，設(shè)菱形的邊長為；

（2）若點P落在矩形ABCD的內(nèi)部，且點E、F分別在AD、DC邊上，如圖4，

設(shè)DF=PF=x，則AF=，當(dāng)A，P，F(xiàn)在一直線上時，AP最小，最小值為x＝，所以當(dāng)x最大取4時，AP最小值為1；

（3）情況一：如圖5，連接EM，

∵DE=EP=AM，

∴△EAM≌△MPE，

設(shè)AE=x，則AM=DE=3-x，則BM=x+1，

∵M(jìn)P=EA=x，CP=CD=4，

∴MC=4-x，

∴（x+1）2+32=（4-x）2，

解得：x=.

故AE=.