Question

如圖，已知拋物線與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C.

    ⑴點B的坐標(biāo)為    ，點C的坐標(biāo)為    （用含b的代數(shù)式表示）；

⑵請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

⑶請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

   

Answer 1

解：⑴B（b，0），C（0，）；

⑵假設(shè)存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形.

  設(shè)點P坐標(biāo)（x，y），連接OP，

  則，∴.

  過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，

  ∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°. ∴四邊形PEOD是矩形. ∴∠EPD=90°.

∵△PBC是等腰直角三角形，∴PC=PB，∠BPC=90°.

∴∠EPC=∠BPD.

∴△PEC≌△PDB. ∴PE=PD，即x=y.

由 ，解得： .

由△PEC≌△PDB得EC=DB，即 ，解得符合題意.

∴點P坐標(biāo)為（，）.

⑶假設(shè)存在這樣的點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似.

  ∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.

∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x軸.

∵b＞2，∴AB＞OA. ∴∠QOA＞∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此時∠OQB =90°.

由QA⊥x軸知QA∥y軸，∴∠COQ=∠OQA.

∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°.

（Ⅰ）當(dāng)∠OCQ=90°時，△QOA≌△OQC. ∴AQ=CO= .

      由得：，

解得：. ∵，∴，.

∴點Q坐標(biāo)為（1，）.

（Ⅱ）當(dāng)∠OQC=90°時，△QOA≌△OCQ. ∴，即.

又. ∴，即.

解得：AQ=4，此時b=17＞2符合題意. ∴點Q坐標(biāo)為（1，4）.

∴綜上可知：存在點Q（1，）或（1，4），使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似.