Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D在邊BC上，以A為圓心，AD長為半徑畫圓弧，交邊BC的另一點E，交邊AC于F，連接AE，EF．
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）若∠ADB=3∠CEF，請判斷EF與AB有怎樣的位置關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意可知AD=AE=AF，

∴∠ADE=∠AED，

∴∠ADB=∠AEC，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△ABD和△ACD中， ，

∴△ABD≌△ACD；

（2）解：∵∠ADB=∠AEC，∠ADB=3∠CEF，

∴∠AEF=2∠CEF，

∵AE=AF，

∴∠AFE=∠AEF=2∠CEF，

∴∠CEF=∠C，

∵△ABD≌△ACD，

∴∠B=∠C，

∴∠CEF=∠B，

∴EF∥AB．

【解析】（1）根據全等三角形的判定定理得到△ABD≌△ACD；（2）根據已知條件得到∠AEF=2CEF，根據等腰三角形的性質得到∠AFE=∠AEF=2∠CEF，等量代換得到∠CEF=∠C，根據全等三角形的性質得到∠B=∠C，于是得到結論；
【考點精析】通過靈活運用直線與圓的三種位置關系，掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點即可以解答此題．