Question

如圖，直角坐標系中Rt△ABO，其頂點為A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到Rt△A′B′O．

（1）一拋物線經(jīng)過點A′、B′、B，求該拋物線的解析式；

（2）設點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質(zhì)．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=-x2+x+2；（2）P（1，2）；（4）四邊形PB′A′B為等腰梯形，答案不唯一，①等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等；②等腰梯形對角線相等.

【解析】

試題分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′（-1，0），B′（0，2），再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

（2）利用S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假設四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，得出一元二次方程，得出P點坐標即可；

（3）利用P點坐標以及B點坐標即可得出四邊形PB′A′B為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可．

試題解析：（1）（1）△A′B′O是由△ABO繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，

又A（0，1），B（2，0），O（0，0），

∴A′（-1，0），B′（0，2）

設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c（a≠0），

∵拋物線經(jīng)過點A′、B′、B，

∴，解得：，

∴滿足條件的拋物線的解析式為y=-x2+x+2．

（2）∵P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，

設P（x，y），則x＞0，y＞0，P點坐標滿足y=-x2+x+2．

連接PB，PO，PB′，

∴S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y=x+（-x2+x+2）+1=-x2+2x+3．

∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面積為：×1×2=1，

假設四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，則

4=-x2+2x+3，

即x2-2x+1=0，

解得：x1=x2=1，

此時y=-12+1+2=2，即P（1，2）．

∴存在點P（1，2），使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．

（3）四邊形PB′A′B為等腰梯形，答案不唯一，①等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等；②等腰梯形對角線相等；③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等．

考點: 二次函數(shù)綜合題．